Symbol Newtona - która liczba jest większa?

[tiraeth]

Czy ktoś mógłby mi pomóc w sprawdzeniu, która liczba, a czy b, jest większa?

\(\displaystyle{ a = {66 \choose 30} \quad \quad b = {66 \choose 40}}\)

? Chciałbym jednak formalnie wiedzieć, jak to dowieść, a niestety nie mogę nigdzie tego znaleźć. Każda porada będzie mile widziana

[marcinn12]

Ja Ci nie pomogę ale mam pytanie do innych:

\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{66!}{30!*36!}}\)

\(\displaystyle{ b=\frac{66!}{40!*26!}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{66!}{30!*36!}*\frac{40!*26!}{66!}= \frac{40!*26!}{30!*36!}=...}\)

I jak to skracać najszybciej?:(

[abc666]

\(\displaystyle{ {66 \choose 30} \\
\frac{{66 \choose 30} }{{66 \choose 40} } = \frac{66!}{30!*36!}* \frac{40!*26!}{66!}= \frac{31*32*...*40}{27*28*...*36}}\)
w mianowniku i liczniku mamy po 10 liczby,
\(\displaystyle{ 31>27 \\
32>28 \\
...}\)

[JankoS]

Można tak
\(\displaystyle{ a-b= {66 \choose 30} - {66 \choose 40} =\frac{66!}{30! \cdot 36!}-\frac{66!}{40! \cdot 26!}=66!(\frac{1}{26! \cdot 27 \cdot ... \cdot 30 \cdot 36!}-\frac{1}{36! \cdot 37 \cdot ... \cdot 40 \cdot 26!})=\frac{66!}{26! \cdot 36!}(\frac{1}{27 \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30}-\frac{1}{ 37 \cdot 38 \cdot 39 \cdot 40})=\\=\frac{66!}{26! \cdot 36!} \cdot \frac{ 37 \cdot 38 \cdot 39 \cdot 40-27 \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30}{27 \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30 \cdot 37 \cdot 38 \cdot 39 \cdot 40}>0 \Rightarrow a>b.}\)