wyprowadzenie wzoru na funkcję Eulera

[nykus]

Jeżeli ktoś z Was może mi pomóc, prosiłbym o wyprowadzenie wzoru na funkcję Eulera (zlicza liczby naturalne, mniejsze od argumentu, względnie pierwsze z argumentem).
\(\displaystyle{ \varphi :N N}\)
\(\displaystyle{ n=p_1^{i_1} p_2^{i_2} ... p_k^{i_k}}\)
\(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_k,i_1,...,i_k N}\)
\(\displaystyle{ \varphi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})}\)

Wiem tylko tyle, że robi się to z wykorzystaniem zasady włączeń i wyłączeń.

[g]

jakie jest prawdopodobienstwo, ze w przedziale \(\displaystyle{ [1,n]}\) trafisz na liczbe podzielna przez \(\displaystyle{ p_i}\)? jakie zatem jest prawdopodobienstwo, ze ona bedzie przez \(\displaystyle{ p_i}\) niepodzielna? czy zdarzenia sa niezalezne dla roznych \(\displaystyle{ i}\)? a zatem jakie z jednej strony jest prawdopodobienstwo, ze trafisz na liczbe wzglednie pierwsza z \(\displaystyle{ n}\)? a z innej strony?

[nykus]

OK. Dzięki za naprowadzenie i wywołanie "twórczych sił" - tam zwijanie tego cholernego zapisu jest mocno nieprzyjemne albo sobie to utrudniłem - tak czy inaczej dałem radę