wybor monet

[setch]

Na ile sposobów można wybrać 10 monet spośród nieograniczenie wielu identycznych monet o nominałach 1,2 lub 5żl?

[abc666]

11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66

wybieramy 0 1PLN możemy wybrać
2pln 5 pln
\(\displaystyle{ \left \begin{array}{c}0 - 10\\
1 - 9 \\
..\\
10 - 0\\ \end{array} \right \}\mbox{11 sposobów}}\)
sposobów wyboru jest zawsze o jeden więcej niż pozostałych do wybrania monet

[setch]

wybieramy 0 1PLN możemy wybrać
2pln 5 pln

Nie rozumie tego zdania, moglbys je napisac po polsku?

[tiraeth]

Problem wyboru k elementów ze zbioru przedmiotów n rodzaju można przedstawić jako wrzucenie tych elementów do n szufladek, przy czym dopuszczamy możliwość taką, że jakaś szufladka jest pusta.

Przykład z 10 monetami trzech rodzajów. Jedno rozwiązanie to:

\(\displaystyle{ 000010001000}\)

4x1zł, 3x2zł i 3x5zł

Zatem poszukujemy możliwości wyboru dwóch jedynek z pośród 12 elementów ciągu binarnego. Ogólny wzór:

\(\displaystyle{ {{k+n-1} \choose {n-1}}}\)

Rozwiązaniem tego zadanie jest liczba \(\displaystyle{ {12\choose2}}\) .

Wzmocnijmy teraz to zadanie. Załóżmy, że przy wyborze, z każdego rodzaju monet, musi być przynajmniej jedna. Dajmy trochę łatwiejszy przykład - 5 monet trzech rodzajów. Narysujemy możliwe "szufladki":

|0|00|000| |00|0|000| |000|00|0|
|000|0|00| |0|000|00| |00|000|0|

W szufladkach odrzucamy krawędzie zewnętrzne, a wewnętrzne zamieniamy na jedynki. No i mamy ciąg zer i jedynek.

Mamy sześć możliwości. Widać, że jest to \(\displaystyle{ {4 \choose 2} = \frac{4!}{4} = 3! = 6}\) .

\(\displaystyle{ {{k-1}\choose{n-1}}}\)

Od razu napiszę, że rozwiązania te można także stosować do zadań typu: Ile jest rozwiązań w nieujemnych liczbach całkowitych / dodatnich liczbach naturalnych równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_k = n}\)? Stosujemy wtedy jeden z powyższych wzorów.

[krzych9]

Tu jest mały bład powinni być "{14 choose 2}"

[mat_61]

Najprościej to są to po prostu kombinacje 10-elementowe z powtórzeniami ze zbioru 3-elmenetowego.