Turniej, stosunek liczby zwycięstw, grupy

[patry93]

Witam.

W pewnym turnieju wzięło udział \(\displaystyle{ 2n}\) drużyn grupy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ n}\) drużyn grupy \(\displaystyle{ B}\). Każda drużyna rozegrała z każdą dokładnie jeden mecz i nie zanotowano remisów. Stosunek liczby zwycięstw drużyn grupy \(\displaystyle{ A}\) do liczby zwycięstw drużyn grupy \(\displaystyle{ B}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{7}}\). Obliczyć, ile drużyn wzięło udział w tym turnieju.

Jedyne, co mam chyba dobrze to liczba wszystkich meczy tj. \(\displaystyle{ \frac{3n(3n-1)}{2}}\)

Nie wiem jak zapisać liczbę zwycięstw drużyn poszczególnych grup...

Pozdrawiam, P.-- 26 lutego 2009, 13:11 --Hm, pewnie niepotrzebnie, ale wprowadzając nową zmienną \(\displaystyle{ k}\), która wyraża liczbę zwycięstw drużyn z grupy \(\displaystyle{ A}\) otrzymam chyba:
\(\displaystyle{ \frac{k}{ \frac{3n(3n-1)}{2}-k} = \frac{5}{7} \iff 24k = 15n(3n-1) \iff 24k = 45n^2-15n}\)
Można z tego jakoś dalej ruszyć?

[Dumel]

niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza liczbe meczy ktore dryzyny z A wygraly z druzynami z B. analogicznie definiujemy liczbę \(\displaystyle{ b}\). mamy \(\displaystyle{ {2n \choose 2}}\) meczy miedzy druzynami z A i \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) meczy miedzy druzynami z B. niech \(\displaystyle{ W_a}\) oznacza liczbe zwyciestw druzyn z A a \(\displaystyle{ W_a}\) liczbe zwyciestw druzyn z B. teraz dla n>3 mamy:
\(\displaystyle{ \frac{W_a}{W_b}= \frac{a+{2n \choose 2}}{b+{n \choose 2}} \ge \frac{0+n(2n-1)}{n \cdot 2n+ \frac{n(n-1)}{2} }> \frac{5}{7}}\)-- 28 lutego 2009, 14:11 --czyli moze byc n=1 lub n=2 lub n=3. to juz trzeba recznie rozpatrzyc

[patry93]

Dziękuję, świetny pomysł z tą nierównością
Hm, nie wiem co robię źle, ale coś mi nie wychodzi ostateczny wynik... sprawdzałem też na kalkulatorze i jednak wychodzi nie tak, jak powinno :/
Jeśli dobrze zrozumiałem, to dla: (wszędzie podstawiam oczywiście stosunek \(\displaystyle{ \frac{W_a}{W_b}}\)
1) n=1, mam \(\displaystyle{ \frac{2+a}{2+1-a} = \frac{5}{7} \iff a = \frac{1}{12} \notin \mathbb{N}}\)
2) n=2, mam \(\displaystyle{ \frac{4+a}{8+2-a} = \frac{5}{7} \iff a = \frac{11}{6} \notin \mathbb{N}}\)
3) n=3, mam \(\displaystyle{ \frac{6+a}{18+3-a} = \frac{5}{7} \iff a = \frac{63}{12} \notin \mathbb{N}}\)
Gdzieś musiałem jakiś głupi błąd popełnić, lecz go nie widzę...

[Dumel]

w pierwszych dwóch przypadkach rzeczywiscie wychodzi sprzecznosc chociaz troche zle wyliczyles symbole Newtona. w trzecim powinno być \(\displaystyle{ \frac{a+15}{21-a}= \frac{5}{7}}\) czyli a=0.