Ułożenie słów pięcioliterowych i inne

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
bartek9011
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 wrz 2008, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Ułożenie słów pięcioliterowych i inne

Post autor: bartek9011 »

Witam, proszę o pomoc (wraz z wytłumaczeniem rozwiązania zadania):

1. Ile słów pięcioliterowych można utworzyć, mając do dyspozycji alfabet złożony z 24 liter, aby spełnione były następujące warunki: - w żadnym słowie litery nie mogą się powtarzać i- nowo utworzone słowa muszą tworzyć grupę pięciu kolejnych liter alfabetu. (odpowiedź wynosi 2400)

2. W przedziale wagonu kolejowego są ustawione naprzeciw siebie dwie ławki. Każda ma 5 numerowanych miejsc. Do przedziału weszło pięć osób. Trzy osoby usiadły na jednej ławce, pozostałe- na drugiej, naprzeciwko dwóch osób z pierwszej ławki. ile jest takich rozmieszczeń osób w przedziale ?
(odpowiedź to 7200)

3. Na peronie dziesięć osób czeka na pociąg. Podjeżdża skład, złożony z trzech wagonów. Zakładamy, że każda z osób losowo wybiera wagon do którego wsiada. Na ile sposobów osoby te mogą zająć miejsca w wagonach, tak aby znalazły się tylko w dwóch wagonach ? (odpowiedź to 3066)

4. Grupę 12 drużyn sportowych, wśród których są drużyny A, B i C, dzielimy losowo na trzy równe podgrupy I, II, III. Ile jest sposobów takiego podziału, aby każda z drużyn A, B i C znalazła się w innej podgrupie ? Zakładamy, że kolejność drużyn w podgrupie nie jest ważna (odpowiedź to 10080).
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Ułożenie słów pięcioliterowych i inne

Post autor: Kartezjusz »

Grupą nazywany też grupę ZABCD.?-- 23 lutego 2009, 10:56 --Jeśli tak.To jakaś litera musi zacząć naszą grupę. Takich grup jest 48.Każda grupa "łapie siebie samą"
i cztery następne lub cztery poprzednie litery .W każdej grupie litery można ułożyć na 5! sposobów,bo litery nie mogą się powtarzać.Czyli kombinacji jest 25*48=
Awatar użytkownika
swpok
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syreni gród.
Pomógł: 37 razy

Ułożenie słów pięcioliterowych i inne

Post autor: swpok »

ad 1)
Każdy wyraz pięcioliterowy potraktujmy jako ciąg złożony z pięciu liter. Zgodnie z założeniem, że poszczególne ciągi muszą tworzyć grupę pięciu kolejnych liter z alfabetu, można wywnioskować, że taki wyraz możemy wybierać na 20 sposobów. Następnie musimy uwzględnić fakt, iż w obrębie poszczególnego słowa litery mogą być ułożone na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów. Stąd, ilość kombinacji wynosi : \(\displaystyle{ 20 * 5! = 20 * 120 = 2400}\)

ad 2)
Najpierw określmy przestrzeń zdarzeń. Do wagonu wchodzi pięć osób. Trzy siadają przodem do wagonu, natomiast dwie tyłem. Stąd, kolejność ustawienia osób ma znaczenie oraz poszczególne wyniki nie mogą się powtarzać, albowiem nie przewidujemy sytuacji, że dwie osoby siadają na jedno miejsce. Ponadto osobie należy przyporządkować miejsce, a nie odwrotnie. Biorąc pod uwagę powyższą analizę można dojść do wniosku, że mamy tutaj do czynienia z wariacją bez powtórzeń. Zatem moc zbioru wydarzeń wynosi :

\(\displaystyle{ \frac{5!}{3!} * \frac{5!}{2!} = 1200}\)
ODPOWIEDZ