Zagadka z silnią

Delvier · Post autor: **Delvier** » 10 sty 2006, o 16:18

Wyznacz liczbę n wiedząc , że ostatnimi 24-ma cyframi liczby n! są zera natomiast cyfrą je
poprzedzającą jest 8.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 10 sty 2006, o 16:51

Doszedłem do tego, że to liczba 124. Czy znasz odpowiedź, a jeśli tak, to czy zgadza się ona z moją?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 10 sty 2006, o 18:58

Mi wyszło, że tą liczbą jest 116 lub 118, ale chyba coś pokręciłem

Delvier · Post autor: **Delvier** » 10 sty 2006, o 20:04

pragne zauważyć iż np. liczby 13 ! = 6227020800
11 ! = 39916800
10 ! = 362800
jaki z tego wniosek > otóż istnieją aż trzy liczby które mają dwa zera i końcówkę 8
hmmm no i wydaję mi się że przy 24 zerach będzie bardzo podobnie ,

ale hmm jak do tego dojść ?! rozpisywać to wszystko po kolei :/ Bez jaj ; (

Lorek · Post autor: **Lorek** » 10 sty 2006, o 20:33

24 zera ma liczba \(\displaystyle{ n!, \, n }\)
A do 8 doszłem w następujący sposób: mnożyłem ostatnią cyfrę, (która nie była zerem) z jakiejś silni, np. 13! przez ostatnią cyfrę kolejnej liczby naturalnej (w przykładzie 14) i wychodziło to mniej więcej tak:
\(\displaystyle{ 2 3=6, \, 6 4=(2)4, \, 4\cdot 5=2(0), \, 2 6=(1)2}\) itd. itp.

Delvier · Post autor: **Delvier** » 10 sty 2006, o 20:54

Wytłumacz mi jeszcze z kąd wiesz że n należy do przedziału ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 10 sty 2006, o 21:06

Delvier pisze:Wytłumacz mi jeszcze z kąd wiesz że n należy do przedziału ?

Co 10 (czyli np. od 11-20, 101-110) "dochodzą" 2 zera (jedno od wielokrotności 10, drugie od iloczynu liczby zakończonej cyfrą 5 i jakiejś parzystej), czyli 24 powinny być po 24/2=12 dziesiątkach (n=), ale dla 100 "dochodzą" 2 zera, czyli już dla n=115 -> n! ma 24 zera, a możemy pomnożyć to jeszcze przez liczby, których iloczyn nie jest wielokrotnością 10, czyli 116, 117, 118, 119,

Edit:
Jednak źle myślałem: \(\displaystyle{ 5^{24}}\)występuje już dla 100!. Poprawny wynik to 104! (n=104) (jeszcze sprawdzałem w excelu ). Sorry za ciągłe zmiany, ale najpierw coś napiszę, a później zastanawiam się co

Tristan · Post autor: **Tristan** » 10 sty 2006, o 21:41

Chodzi o to, by ta liczba miała 24 iloczyny \(\displaystyle{ 2 5}\). No i mamy 2, potem 5 ( czyli pierwsze zero), potem zero dochodzi przy 10 ( 2 zera) , potem przy 15( 3 zera) itd... Należy jeszcze uwzględnić wielokrotności 25, bo tam pojawiają się dwie piątki, czyli dochodzą 2 zera, a nie jedno. Dlatego, gdy dochodzimy do 95 to mamy już 22 zera, czyli dla 100 mamy 24 zera. Czyli n=100 lub 101 lub 102 lub 103 lub 104

Delvier · Post autor: **Delvier** » 11 sty 2006, o 18:25

A mi wychodzi n = 102 ;/ hmm ... Lorek jesteś pewien że to n=104 ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 11 sty 2006, o 19:15

Mi wyszło 104, ale wynik może być inny, bo ten został wyliczony sposobem opisanym kilka postów wcześniej (a może to się liczy w inny sposób ).

Delvier · Post autor: **Delvier** » 11 sty 2006, o 20:14

tuba licze końcówkę cyfry 100! na dwa sposoby ; ) i wychodzi mi raz końcówka 4 co w tym wypadku gwarantuję rozwiązanię n = 102

a innym sposobem wychodzi mi że 2 jest tą cyfrą to wtenczas n=104

pytanie gdzie mam błąd ; ) no cóż pokombinuję

Nostry · Post autor: **Nostry** » 11 sty 2006, o 20:57

Czy to aby odpowiedni dział na to zadanko?

dukoss · Post autor: **dukoss** » 29 sty 2006, o 19:15

Mi też wyszło 102! Metoda jaką wyliczyłem:

Wiemy, że liczba ta jest z zakresu , bo to zostało już wcześniej wytłumaczone.
Interesuje nas więc tylko ostatnia cyfra przed zerami. Żeby ją ustalić wyliczyłem ostatnią cyfrę przed zerami dla 100!
Z pewnością na tą cyfrę wpływają tylko cyfry jedności kolejnych mnożonych liczb. A więc:

(1*2*3*4*5*6*7*8*9*10) do potęgi 10 (gdyż liczby 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71 itd. mają te same cyfry jedności, to samo dzieje się z z 12, 22, 32...)

tyle, że powinniśmy zabrać wszystkie mnożniki(tak to się nazywa ) "produkujące" nam te zera. proponuję więc wywalić wszystkie z końcówką 5, 10 i 2 (5*2*10=100)

Zostaje nam więc (1*3*4*6*7*8*9) do potęgi 10 od czego musimy jeszcze zabrać (czyli podzielić przez) cztery dwójki które są potrzebne dla dodatkowych zer dla 25!, 50!, 75! i 100!, więc:

(1*3*4*6*7*8*9) do potęgi 10 ÷ 2 do potęgi 4

Wynik jest okropnie duży, ale interesują nas tylko jedności, a te wyniosą z tego równania moim zdaniem 4. (mogę podać sposób na dosyć szybkie wyliczenie tej cyfry).
więc: 100! = .........................4 * 10 do potęgi 24, więc mnożymy razy 101 i 102
i otrzymujemy poszukiwaną liczbę. Nie jestem pewien czy wynik jest dobry, ale na 90% tak.

P.S. Z góry przepraszam jeśli to co napisałem jest niezrozumiałe. Starałem się jak mogłem! Poza tym to moja pierwsza notka na tym forum.

olwe · Post autor: **olwe** » 30 sty 2006, o 10:54

musimy jeszcze zabrać (czyli podzielić przez) cztery dwójki które są potrzebne dla dodatkowych zer dla 25!, 50!, 75! i 100!

4 dwojki ? Troche tego nie rozumiem, dlaczego mam dzielic przez 4 dwojki. Dla 100 nie potrzebny jest mnoznik.

Ja podzieliem (1*3*4*6*7*8*9)^{10} przez 4*8*8=256 ( 4*25=100, 8*50=400, 88*75=..00)
co daje ostatnia cyfre 100! czyli cyfre 4.