Patrole policjantów

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
wbb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 17 lut 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 25 razy

Patrole policjantów

Post autor: wbb »

Komendant posterunku policji ma do dyspozycji siedmiu policjantów. Oblicz, na ile sposobów komendant może spośród tych policjantów utworzyć:
a) dwa trzyosobowe patrole;
b) trzy dwuosobowe patrole.

Proszę o przedstawienie wyliczeń wraz z wyjaśnieniem.
Awatar użytkownika
tomcio1243
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 19 lut 2009, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 2 razy

Patrole policjantów

Post autor: tomcio1243 »

nie jestem pewny alke warto spróbować xP
a)\(\displaystyle{ C \frac{3}{7}= \frac{7!}{3!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3}=840}\)
\(\displaystyle{ C \frac{3}{4}= \frac{4!}{3!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3}=4}\)
\(\displaystyle{ 840 \cdot 4=3360}\)
b)\(\displaystyle{ C \frac{2}{7}= \frac{7!}{2!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2}=2520}\)
\(\displaystyle{ C \frac{2}{5}= \frac{5!}{2!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2}=60}\)
\(\displaystyle{ C \frac{2}{3}= \frac{3!}{2!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2}=3}\)
\(\displaystyle{ 2520 \cdot 60 \cdot 3=453600}\)

chyba źle bo za dużę liczby xP
pozdro
wbb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 17 lut 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 25 razy

Patrole policjantów

Post autor: wbb »

tomcio1243 pisze:nie jestem pewny alke warto spróbować xP
a)\(\displaystyle{ C \frac{3}{7}= \frac{7!}{3!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3}=840}\)
\(\displaystyle{ C \frac{3}{4}= \frac{4!}{3!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3}=4}\)
\(\displaystyle{ 840 \cdot 4=3360}\)
b)\(\displaystyle{ C \frac{2}{7}= \frac{7!}{2!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2}=2520}\)
\(\displaystyle{ C \frac{2}{5}= \frac{5!}{2!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2}=60}\)
\(\displaystyle{ C \frac{2}{3}= \frac{3!}{2!}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2}=3}\)
\(\displaystyle{ 2520 \cdot 60 \cdot 3=453600}\)

chyba źle bo za dużę liczby xP
pozdro
Oczywiście, że źle.
abc666

Patrole policjantów

Post autor: abc666 »

a)
\(\displaystyle{ {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 3}}\)
najpierw z 7 wybieramy 3, potem z pozostałych czterech
b)
\(\displaystyle{ {7 \choose 2} \cdot {5 \choose 2} \cdot {3 \choose 2}}\)
analogicznie
wbb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 17 lut 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 25 razy

Patrole policjantów

Post autor: wbb »

abc666 pisze:a)
\(\displaystyle{ {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 3}}\)
najpierw z 7 wybieramy 3, potem z pozostałych czterech
b)
\(\displaystyle{ {7 \choose 2} \cdot {5 \choose 2} \cdot {3 \choose 2}}\)
analogicznie
Też tak to zrobiłem i byłem pewny że mam dobrze ale w odpowiedziach Twoje rachunki z podpunktu a) podzielili przez 2 a te z podpunktu b) przez sześć i nie mam pojęcia skąd to mogło się wziąć.
Awatar użytkownika
tomcio1243
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 19 lut 2009, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 2 razy

Patrole policjantów

Post autor: tomcio1243 »


ja chyba coś podobnie zrobiłem xP

mam pytanko...

\(\displaystyle{ {7 \choose 3}= \frac{7!}{3!}}\)
czy to się równa ???
abc666

Patrole policjantów

Post autor: abc666 »

Aha, czyli patrole nie są rozróżnialne, czyli trzeba podzielić przez ilość możliwych ustawień patroli w szeregu tak jakby, czyli w pierwszym przez \(\displaystyle{ 2!}\) a drugim przez \(\displaystyle{ 3!}\)

Chodzi o to że nie ma patrolu nr 1 i patrolu nr 2 tylko są dwa patrole, ale czasem tak już jest z zadaniami tymi że są pewne niedomówienia.
wbb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 17 lut 2009, o 15:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 25 razy

Patrole policjantów

Post autor: wbb »

abc666 pisze:Aha, czyli patrole nie są rozróżnialne, czyli trzeba podzielić przez ilość możliwych ustawień patroli w szeregu tak jakby, czyli w pierwszym przez \(\displaystyle{ 2!}\) a drugim przez \(\displaystyle{ 3!}\)

Chodzi o to że nie ma patrolu nr 1 i patrolu nr 2 tylko są dwa patrole, ale czasem tak już jest z zadaniami tymi że są pewne niedomówienia.
Trochę to nielogiczne, bo policjanci jako ludzie muszą być rozróżnialni, ale dzięki za wyjaśnienie.
abc666

Patrole policjantów

Post autor: abc666 »

Ludzie są rozróżnialni, lecz patrole nie, przykład:
3 osoby, 2 jednoosobowe patrole
osoby: a, b, c

jeden patrol - drugi patrol
a - b
a - c
b - c

czyli
\(\displaystyle{ {3 \choose 1}\cdot {2 \choose 1}\cdot \frac{1}{2!}}\)
ponieważ sytuacje
b - a
c - a
b - c
już występują
ODPOWIEDZ