Doświadczenie losowe z szescienna kostką

[owen1011]

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie sześcienną kostką do gry. Zdarzenie A polega na wypadnieciu za kazdym razem liczby oczek wiekszej od 4, zas B jest zdarzeniem polegajacym na wypadnieciu conajmniej raz liczby oczek niepodzielnej przez 3. Przyjmijmy, ze zbiorem zdarzen elementarnych jest zbior trzywyrazowych ciagów \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) takich, ze \(\displaystyle{ a,b,c \in \{1,2,3,4,5,6\}}\). Oblicz, ile zdarzen elementarnych sprzyja zdarzeniu:
1) \(\displaystyle{ A}\)
2) \(\displaystyle{ B'}\)
3) \(\displaystyle{ B}\)
4) \(\displaystyle{ A \cap B'}\)
5) \(\displaystyle{ A \cup B'}\)

z gory dzieki za pomoc

[wb]

1)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=W_2^3=2^3=8}\)

2)
B' - ani razu niepodzielna przez 3, tzn. wszystkie podzielne przez 3:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B'}}=W_2^3=2^3=8}\)

3)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=W_6^3=6^3=216 \\ \overline{\overline{B}}=\overline{\overline{\Omega}}-\overline{\overline{B'}}=216-8=208}\)

4)
\(\displaystyle{ A\cap B'=\lbrace (6,6,6)\rbrace \\ \overline{\overline{A\cap B'}}=1}\)

5)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A\cup B'}}=\overline{\overline{A}}+\overline{\overline{B'}}-\overline{\overline{A\cap B'}}=8+8-1=15}\)

[SirMyxir]

Chciałbym uzyskać nieco więcej informacji o c) bo jakbym sobie rozbił to na sytuacje to jest coś takiego
4 liczba niepodzielnych 2 podzielne
\(\displaystyle{ 4*4*4 + 4*4*2+4*2*2=112}\) prosze o korekte i wyjaśnienie.

[mat_61]

Chciałbym uzyskać nieco więcej informacji o c) bo jakbym sobie rozbił to na sytuacje to jest coś takiego
4 liczba niepodzielnych 2 podzielne
\(\displaystyle{ 4*4*4 + 4*4*2+4*2*2=112}\) prosze o korekte i wyjaśnienie.

Liczba podzielna przez 3 może być na dowolnej kostce (a nie tylko na trzeciej - jak masz w drugim składniku lub drugiej i trzeciej - jak masz w trzecim składniku), czyli:

\(\displaystyle{ 4 \cdot 4 \cdot 4+\left( 4 \cdot 4 \cdot 2+4 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 4 \cdot 4\right) +\left( 4 \cdot 2 \cdot 2+2 \cdot 4 \cdot 2+2 \cdot 2 \cdot 4\right)=...}\)

[pawel4173212]

Odkopuje temat, żeby nie zakładać nowego. Co do podpunktu d mam pewne wątpliwości. W wyżej podanym rozwiązaniu wszystko jest ok, ale w rozwiązaniu w zbiorze zadań (Andrzeja Kiełbasy). Jest napisane :
"Zdarzenie \(\displaystyle{ A\cup B'}\) polega na wypadnięciu za każdym razem liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 3}\) lub liczby większej od \(\displaystyle{ 4}\), więc za każdym razem musi wypaść \(\displaystyle{ 3}\) albo \(\displaystyle{ 5}\) albo \(\displaystyle{ 6}\) oczek. Zatem zdarzeniu \(\displaystyle{ A\cup B'}\) sprzyja \(\displaystyle{ 3\cdot3\cdot3}\) zdarzeń elementarnych.
Rozwiązanie wydaje mi się być logiczne, ale powinno prowadzić do takiego samego wyniku. Byłbym wdzięczny gdyby ktoś mi wyjaśnił, gdzie jest pomyłka.
Odpowiedzi w pozostałych podpunktach są takie same jak w powyższym rozwiązaniu.

[mat_61]

... w rozwiązaniu w zbiorze zadań (Andrzeja Kiełbasy). Jest napisane :
"Zdarzenie \(\displaystyle{ A\cup B'}\) polega na wypadnięciu za każdym razem liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 3}\) lub liczby większej od \(\displaystyle{ 4}\), więc za każdym razem musi wypaść \(\displaystyle{ 3}\) albo \(\displaystyle{ 5}\) albo \(\displaystyle{ 6}\) oczek.

podkreślenie moje

To nie jest prawda.

Poprawnie powinno być tak:

\(\displaystyle{ \hbox{...więc za każdym razem musi wypaść} \underbrace {(3 \ lub \ 6 \ oczek)}_{zdarzenie \ A} \ lub \ \underbrace { (5 \ lub \ 6 \ oczek)}_{zdarzenie \ B'}}\)

Mamy dwa zdarzenia:

\(\displaystyle{ A}\): za każdym razem wypadnie liczba podzielna przez 3
\(\displaystyle{ B'}\): za każdym razem wypadnie liczba większa od 4

Zauważ, że każde z tych zdarzeń dotyczy zestawu wyników dla 3 kostek a nie wyniku na pojedynczej kostce. Wg rozwiązania o którym piszesz mógłby być np. taki rezultat rzutu:

\(\displaystyle{ \left( 3, 5, 6\right)}\)

ale zauważ, że ten wynik rzutu nie należy ani do zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) (za każdym razem nie wypadła liczba podzielna przez 3) ani do zdarzenia \(\displaystyle{ B'}\) (za każdym razem nie wypadła liczba większa od 4), czyli nie może należeć do sumy tych zdarzeń \(\displaystyle{ A \cup B'}\).

Natomiast rozwiązanie z pierwszego postu jest poprawne, bo zarówno do zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) jak i \(\displaystyle{ B'}\) należy po osiem wyników rzutów, natomiast tylko wynik \(\displaystyle{ \left( 6, 6, 6\right)}\) należy do obydwu zdarzeń.