wzór jawny na sumę wyrazów ciągu

[rm0000]

prosze o pomoc w rozwjązaniu zadania

\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{0} =1 \\
a_{1} =2 \\
a_{n}=-2a_{n-1}+2a_{n-2} \end{cases}}\)

wyznaczyć wzór jawny \(\displaystyle{ S_n}\)

[Xitami]

\(\displaystyle{ (-1)^{n-1}\left((1+\sqrt3)^{n-1}+(1-\sqrt3)^{n-1}\right)}\)

[rm0000]

bardzo prosze o treść sposobu rozwiazanego zadania

błagam

jak to było policzone?

a jak ma wygladac udowodnienie indukcyjnie jego poprawność?

nie rozumiem jak to rozwiazać

please please

[abc666]

Rozwiązanie z użyciem równań charakterystycznych
\(\displaystyle{ a_{n+2}=-2a_{n+1}+2a_n\\
x^2=-2x+2\\
x^2+2x-2=0\\}\)
pierwiastki
\(\displaystyle{ x_1=-1- \sqrt{3}\ \ x_2=-1+ \sqrt{3} \\
a_n=A*x_1^n+B*x_2^2\\
a_n=A(-1- \sqrt{3} )^n+B(-1+ \sqrt{3} )^n\\
a_n=(-1)^n \left(A(1+ \sqrt{3} )^n+B(1- \sqrt{3} )^n \right)}\)
podstawiamy n=0 i n=1 z zadania, z układu równań wychodzi nam
\(\displaystyle{ A= \frac{1- \sqrt{3} }{2} \\
B= \frac{1+ \sqrt{3} }{2}}\)
po podstawieniu i uporządkowaniu otrzymujemy
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{2} (-1)^n \left((1- \sqrt{3})(1+ \sqrt{3})^n+(1+ \sqrt{3})(1- \sqrt{3})^n ) \right)}\)
Teraz stosujemy wzór skróconego mnożenia obu przy obu nawiasach
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{2} (-1)^n \left((1- 3)(1+ \sqrt{3})^{n-1}+(1-3)(1- \sqrt{3})^{n-1} ) \right)}\)
Wyłączamy -2 przed nawias i otrzymujemy wzór podany przez Xitami

[rm0000]

dzięki wielkie ale juz sobie poradziłem, kilka nocy nie przespanych i leci jak z nut