Mam problem z zadaniem:
Ile jest liczba 4 cyfrowych ( o roznych cyfrach) w ktorych liba jednosci jest o jeden wieksza od liczby dziesiatek.
Gdyby nie dopisek ze liczba ma rozne cyfry to by bylo proste...
liczba 4 cyfrowa
-
DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
liczba 4 cyfrowa
Wiemy, że skoro liczba jedności jest o jeden większa od liczby dziesiątek, to rozpatrywanych dwucyfrowych "końcówek" będzie dokładnie 9 (pary postaci (n,n+1) od (0,1) do (8,9)). Rozpatrzmy tylko dwa przypadki: gdy na końcu będzie ...01 oraz gdy na końcu będzie dowolna inna para.
1) Końcówka ...01
Ponieważ pozostałe dwie cyfry mają być różne od tamtych dwóch, więc rozpatrujemy wszystkie 2-elementowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru 8-elementowego (wyrzucamy 1 oraz 0).
\(\displaystyle{ V^{2}_{8}=\frac{8!}{(8-2)!}=56}\)
Ponieważ odrzuciliśmy 0 jako że znajdowało się na końcu, to nie musimy się martwić co by było gdyby 0 znalazło się na miejscu liczby tysięcy.
2) Dowolna inna końcówka
Ponieważ tym razem nie odrzuciliśmy 0 z rozpatrywanych cyfr, musimy uwzględnić przypadek gdy 0 będzie na miejscu liczby tysięcy. Można to zrobić na dwa sposoby: albo liczymy tak jak poprzednio ilość możliwości i odrzucamy tylko te gdzie na początku będzie 0 (wyjdzie nam 56-7=49 możliwości), albo po prostu stwierdzamy, że po odrzuceniu 0 i dwóch cyfr stojących na końcu na miejscu tysięcy może stać jedna z 7 cyfr, natomiast na miejscu setek może stać jedna z 7 cyfr (początkowe 10 cyfr, minus 2 stojące na dwóch ostatnich miejscach, minus jedna stojąca na miejscu tysięcy, czyli 7 - tutaj już może stać 0, które przy tysiącach odrzuciliśmy). Wychodzi na to samo: 7*7=49. Ponieważ wszystkich końcówek z wyjątkiem ...01 jest 8, to możliwości będzie 49*8=392.
Zatem odpowiedzią na postawione pytanie będzie 392+56=448.
P.S. Sorry za takie "łopatologiczne" tłumaczenie i dochodzenie, ale jeśli chodzi o kombinatorykę to jestem samoukiem, bo w szkole tego jeszcze nie przerabialiśmy Pewnie inni by to rozwiązali w jednym równaniu
P.S. 2. Ze względu na powyższe oraz na rozwiązywanie zadania "na szybko" gwarancji na wynik nie udziela się
1) Końcówka ...01
Ponieważ pozostałe dwie cyfry mają być różne od tamtych dwóch, więc rozpatrujemy wszystkie 2-elementowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru 8-elementowego (wyrzucamy 1 oraz 0).
\(\displaystyle{ V^{2}_{8}=\frac{8!}{(8-2)!}=56}\)
Ponieważ odrzuciliśmy 0 jako że znajdowało się na końcu, to nie musimy się martwić co by było gdyby 0 znalazło się na miejscu liczby tysięcy.
2) Dowolna inna końcówka
Ponieważ tym razem nie odrzuciliśmy 0 z rozpatrywanych cyfr, musimy uwzględnić przypadek gdy 0 będzie na miejscu liczby tysięcy. Można to zrobić na dwa sposoby: albo liczymy tak jak poprzednio ilość możliwości i odrzucamy tylko te gdzie na początku będzie 0 (wyjdzie nam 56-7=49 możliwości), albo po prostu stwierdzamy, że po odrzuceniu 0 i dwóch cyfr stojących na końcu na miejscu tysięcy może stać jedna z 7 cyfr, natomiast na miejscu setek może stać jedna z 7 cyfr (początkowe 10 cyfr, minus 2 stojące na dwóch ostatnich miejscach, minus jedna stojąca na miejscu tysięcy, czyli 7 - tutaj już może stać 0, które przy tysiącach odrzuciliśmy). Wychodzi na to samo: 7*7=49. Ponieważ wszystkich końcówek z wyjątkiem ...01 jest 8, to możliwości będzie 49*8=392.
Zatem odpowiedzią na postawione pytanie będzie 392+56=448.
P.S. Sorry za takie "łopatologiczne" tłumaczenie i dochodzenie, ale jeśli chodzi o kombinatorykę to jestem samoukiem, bo w szkole tego jeszcze nie przerabialiśmy Pewnie inni by to rozwiązali w jednym równaniu
P.S. 2. Ze względu na powyższe oraz na rozwiązywanie zadania "na szybko" gwarancji na wynik nie udziela się
-
Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
liczba 4 cyfrowa
Mi też tyle samo wyszło: )
Rachunkowo tak to można zapisać:
\(\displaystyle{ V^{2}_{8}+8*V^{1}_{7}*V^{1}_{7}}\)
Rachunkowo tak to można zapisać:
\(\displaystyle{ V^{2}_{8}+8*V^{1}_{7}*V^{1}_{7}}\)