Losowo rzucone punkty na odcinek.

[zergqq]

Na odcinek \(\displaystyle{ \underline{AB}}\) długości \(\displaystyle{ a}\) rzucono losowo 5 punktów. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że dwa punkty znajdą się w odległości od punktu \(\displaystyle{ A}\) nie mniejszej niż \(\displaystyle{ x}\), a trzy odległości większej niż \(\displaystyle{ x}\). Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu na odcinek jest proporcjonalne do długości odcinka i nie zależy od jego położenia.

[soku11]

No wiec jest to prawdopodobienstwo geometryczne. Moc omegi bedzie wiec:
\(\displaystyle{ |\Omega|=a^5}\)

Teraz zajmiemy sie moca zdarzenia. Jako, ze jest to p-stwo geometryczne, to p-stwo w danym punkcie bedzie wynosilo dokladnie 0. Tak wiec zdarzenie, ze dwa beda w odleglosci wiekszej rownej od x a 3 w odleglosci wiekszej od x mozna opisac poprostu jako: wszystkie punkty beda w odleglosci wiekszej od x. Musimy wiec znalezc 'objetosc' obszaru w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\) rowna objetosc 'szescianu' o boku a - objetosc 'kuli' o promieniu x \(\displaystyle{ (x\in[0;a])}\). Wzor na objetosc kuli:
\(\displaystyle{ V_5=\frac{\pi^\frac{5} {2}\cdot x^5}{\Gamma(\frac{7}{2})}}\)

Czyli moc zdarzenia:
\(\displaystyle{ |A|=a^5-\frac{\pi^\frac{5} {2}\cdot x^5}{\Gamma(\frac{7}{2})}}\)

I ostatecznie prawdopodobienstwo zdarzenia:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{a^5-\frac{\pi^\frac{5} {2}\cdot x^5}{\Gamma(\frac{7}{2})}}{a^5}}\)

Jesli cos zle napisalem prosze poprawiac

Pozdrawiam.