bardzo bym prosiła o rozwiązanie następującego zadania(sam sobie nie potrafię z nim poradzić):
Wykazać że rozkład Poissona jest rozkładem oraz wyznaczyć jego pierwszy moment i moment centralny
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona
Pierwszy moment r. Poissona:
\(\displaystyle{ EX= \sum_{k=0}^{ \infty } k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{ \infty } k \cdot \frac{\lambda ^k}{k!} e^{- \lambda} = \lambda e^{- \lambda} \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{\lambda ^{k-1}}{(k+1)!} = \lambda e^{- \lambda} \sum_{K=0}^{ \infty } \frac{\lambda ^{k}}{k!} = \lambda e^{- \lambda} e^{ \lambda} = \lambda}\)
\(\displaystyle{ EX= \sum_{k=0}^{ \infty } k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{ \infty } k \cdot \frac{\lambda ^k}{k!} e^{- \lambda} = \lambda e^{- \lambda} \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{\lambda ^{k-1}}{(k+1)!} = \lambda e^{- \lambda} \sum_{K=0}^{ \infty } \frac{\lambda ^{k}}{k!} = \lambda e^{- \lambda} e^{ \lambda} = \lambda}\)