Układ kongruencji

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
SirMisiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 sty 2008, o 00:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koluszki
Podziękował: 1 raz

Układ kongruencji

Post autor: SirMisiek »

Może mi ktoś podać, czy wynikiem poniższego układu kongruencji:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 2 mod 7 \\ x \equiv 5 mod 16 \end{cases}}\)

będzie:

\(\displaystyle{ x = 37+112t}\), gdzie \(\displaystyle{ t \mathbb{Z}}\)
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Układ kongruencji

Post autor: Nakahed90 »

Tak.
Awatar użytkownika
tkrass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

Układ kongruencji

Post autor: tkrass »

a moze ktoś to rozwiązać, żebym zobaczył jak coś takiego się robi?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Układ kongruencji

Post autor: Nakahed90 »

Ogólna postać x z pierwszego równania wynosi
\(\displaystyle{ x=7i+2}\)
Następnie szukamy najmniejszego i dla którego liczba \(\displaystyle{ x=7i+2}\) jest rozwiązaniem równania drugiego, tą liczba jest 37(dla i=5)
Z chińskiego twierdzenia o resztach otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ x\equiv 37(mod7*16)}\)
Czyli ogólna postać to
\(\displaystyle{ x=112t+37}\)
Awatar użytkownika
tkrass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

Układ kongruencji

Post autor: tkrass »

dzięki, muszę przestudiować chińskie twierdzenie o resztach.

dałbym pomógł, ale to nie mój temat
Ktoss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 sty 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna

Układ kongruencji

Post autor: Ktoss »

dałby ktoś radę rozwiązać taki układ?

3x=7(mod11)
2x=9(mod13)


Prosił bym o szybkie rozwiązanie(najlepiej krok po kroku, jak dla kompletnego debila )najlepiej w ciągu niecałej godziny(tzn do 19.10 najpóźniej), później wybywam na kolokwium zaliczeniowe na którym takie równanie może się pojawić

Jakoś nie wiem co zrobić z 2 i 3 przy x. No, z tego co kojarzę to mnoży się te równania przez odwrotności, czyli tutaj 2 ^{-1} oraz 3^{-1} ale po tym nie wiem już kompletnie co dalej.

wg tego co jest napisane w postach powyżej, wyszło mi x = 84 + 143t
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Układ kongruencji

Post autor: Nakahed90 »

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x \equiv 14 \equiv 3(mod11) \\ 6x\equiv 27 \equiv 1 (mod13) \end{cases}}\)
Z pierwszego masz, że \(\displaystyle{ 6x=11i+3}\), dla \(\displaystyle{ i=1}\), liczba \(\displaystyle{ 14}\)jest rozwiązaniem obu kongruencji, czyli
\(\displaystyle{ 6x\equiv 14 (mod143)}\)
Ktoss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 sty 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna

Układ kongruencji

Post autor: Ktoss »

Nakahed90 pisze:\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x \equiv 14 \equiv 3(mod11) \\ 6x\equiv 27 \equiv 1 (mod13) \end{cases}}\)
skąd się wzięły te 3mod11 i 1mod13?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Układ kongruencji

Post autor: Nakahed90 »

\(\displaystyle{ 14=11+3}\)
\(\displaystyle{ 27=2*13+1}\)
Ktoss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 sty 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna

Układ kongruencji

Post autor: Ktoss »

i to jest kompletne rozwiązanie zadania? No i czy jesteś pewien, że to dobrze jest, bo z tego co pamiętam jak znajomi z grupy próbowali to zadanie rozwiązać to chyba pół str a4 im wyszło, a tu kilka linijek ledwo
Możesz mi jeszcze powiedzieć czemu to 14 jest rozwiązaniem? czy to tak samo ma być jak w przykładzie SirMiśka?
Sorki, że tak męczę, ale ciut zaniedbałem naukę matmy ostatnim czasem(ten rok w branży gier pc był dość obfity w dobre gry )
ODPOWIEDZ