Dzielenie 10 różnych przedmiotów pomiędzy dwie osoby

[tomec_]

Treść zadania:

Na ile sposobów można podzielić 10 różnych przedmiotów pomiędzy dwie osoby tak, aby każda dostała przynajmniej jeden z nich?

Poprawną odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 2^{10}-2 = 1022}\) i rozumiem skąd to się wzięło. Wszystkich rozdań jest \(\displaystyle{ 2^{10}}\). Musimy odrzucić dwa z nich, w których ktoś dostał zero. Próbowałem to zrobić innym sposobem, rozdaję obu osobom po jednym przedmiocie, tak żeby każda miała przynajmniej jeden. Następnie rozdaję 8 pozostałych, wtedy możliwości mam \(\displaystyle{ 10 \times 9 \times 2^{8} = 23 040}\). Bez wątpienia mój sposób jest błędny, ale nie rozumiem dlaczego. Bardzo proszę o wytłumaczenie.

[Janusz Tracz]

Bo wielokrotnie zliczasz pewne możliwości. To znaczy dublujesz przypadki. Twoje podejście zlicza sytuację w których ustalasz, że przedmiot \(\displaystyle{ a_1,a_2}\) trafią odpowiednio do osoby odpowiednio pierwszej i drugiej, a reszta dowolnie (ale powiedzmy, że akurat przedniot \(\displaystyle{ a_8}\) trafi do pierwszej osoby oraz \(\displaystyle{ a_9}\) do drugiej). Ale potem zliczona jest sytuacja w której wybrałeś przedmioty \(\displaystyle{ a_8}\) oraz \(\displaystyle{ a_9}\) i rozdałeś je w taki sposób jak wcześniej było to przypadkowe oraz jednocześnie \(\displaystyle{ a_1,a_2}\) tym razem przypadkowo zostały rozdane tak jak wcześniej. Ostatecznie jeśli pozostałe przedmioty też są rozdane jak wcześniej, a nic nie stoi na przeszkodzie by się tak czasem nie stało to cała sytuacja jest zdublowana.