Kombinatoryka, możliwości - ołówki

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Szymon_25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 12 paź 2021, o 13:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 17

Kombinatoryka, możliwości - ołówki

Post autor: Szymon_25 » 13 paź 2021, o 21:14

Cześć,
Zadanie: Mamy \(\displaystyle{ 5}\) niebieskich ołówków i \(\displaystyle{ 12}\) czerwonych. Na ile sposobów można je rozdać wśród \(\displaystyle{ 10}\) uczniów?
Uczniowie są rozróżnialni, a ołówki nie - poza kolorami.
Będę wdzięczny za pomoc i wyjaśnienie którego wzoru trzeba użyć (czy kombinacji, wariacji lub permutacji)
Ostatnio zmieniony 13 paź 2021, o 21:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3377
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1163 razy

Re: Kombinatoryka, możliwości - ołówki

Post autor: Janusz Tracz » 13 paź 2021, o 22:19

Tak na oko to \(\displaystyle{ {10 \choose 0}+{10 \choose 1}+{10 \choose 2}+...+{10 \choose 5} }\). Bo możemy nie rozdać niebieskich ołówków wcale lub możemy dać \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) itd.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8049
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3148 razy

Re: Kombinatoryka, możliwości - ołówki

Post autor: kerajs » 14 paź 2021, o 00:17

Inaczej odbieram fragment:
Szymon_25 pisze:
13 paź 2021, o 21:14
Na ile sposobów można je rozdać
Moim zdaniem chodzi o pozbycie się wszystkich ołówków, a wtedy liczba rozdań to: \(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 10-1} {12+10-1 \choose 10-1}}\) /kombinacje z powtórzeniami/

Awatar użytkownika
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1463
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 222 razy

Re: Kombinatoryka, możliwości - ołówki

Post autor: Gouranga » 14 paź 2021, o 19:42

Jeżeli każdemu uczniowi chcesz dać tylko jeden ołówek to od 0 do 5 z nich może dostać niebieski, reszta czerwony
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} {10 \choose k}{10 \choose 10-k}}\)

pierwszy symbol newtona wybiera ci k uczniów do niebieskiego, drugi resztę do czerwonego, suma rozważa ci przypadki od 0 do 5 niebieskich


w drugim przypadku jeśli chcesz pozbyć się wszystkich ołówków to najpierw znajdujesz wszystkie możliwe sposoby ułożenia ołówków w kolejności na

\(\displaystyle{ {17 \choose 5}}\)

sposobów i do tych 17 ołówków dodajesz 9 separatorów (na 10 grup dla uczniów) co daje razem

\(\displaystyle{ {17 \choose 5}{26 \choose 9}
}\)


tylko ten sposób zakłada, że uczeń może nie dostać ołówka
jeśli ma dostać każdy przynajmniej po jednym

\(\displaystyle{ {17 \choose 5}{16 \choose 9}
}\)

bo z każdego z układów pierwsze 10 rozdajesz uczniom po jednym, zostaje 7 + 9 separatorów na rozdanie reszty

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3377
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1163 razy

Re: Kombinatoryka, możliwości - ołówki

Post autor: Janusz Tracz » 14 paź 2021, o 21:55

Gouranga pisze:
14 paź 2021, o 19:42
Jeżeli każdemu uczniowi chcesz dać tylko jeden ołówek to od 0 do 5 z nich może dostać niebieski, reszta czerwony
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} {10 \choose k}{10 \choose 10-k}}\)
pierwszy symbol newtona wybiera ci k uczniów do niebieskiego, drugi resztę do czerwonego, suma rozważa ci przypadki od 0 do 5 niebieskich
A czy nie można po prostu wybrać \(\displaystyle{ k}\) uczniów i dać im niebieski ołówek, reszta siłą rzeczy dostaje czerwony?

Awatar użytkownika
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1463
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 222 razy

Re: Kombinatoryka, możliwości - ołówki

Post autor: Gouranga » 15 paź 2021, o 14:27

racja, tu mój błąd bo w drugim newtonie powinno być \(\displaystyle{ {10 - k \choose 10 - k}}\) bo przecież zostaje 10 - k uczniów i to zawsze będzie równe 1

ODPOWIEDZ