Dekorowanie stołów

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Dekorowanie stołów

Post autor: Thingoln »

Cześć. Próbowałem rozwiązać to zadanie, ale bez większych postępów. Byłbym wdzięczny za wskazówkę albo rozwiązanie.
Mamy do dyspozycji balony: \(\displaystyle{ c}\) czerwonych, \(\displaystyle{ z}\) zielonych i \(\displaystyle{ n}\) niebieskich. Chcemy udekorować jak najwięcej stołów. Każdy z nich powinien być przystrojony dokładnie trzema balonami, przy czym nie powinny one być w jednym kolorze (a więc dopuszczalne kombinacje to \(\displaystyle{ XYZ}\) oraz \(\displaystyle{ XXY}\), gdzie \(\displaystyle{ X, Y, Z \in \{ \text{czerwony}, \text{zielony}, \text{czerwony} \}}\) oraz \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) są parami różne). Przyjmując, że \(\displaystyle{ c \le z \le n}\) oraz \(\displaystyle{ (c + z) \cdot 2 > n}\), udowodnić, że maksymalna liczba stołów, jakie można udekorować tymi balonami wynosi:
\(\displaystyle{
\left\lfloor \frac{c + n}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{M + z}{3} \right\rfloor,
}\)
gdzie \(\displaystyle{ M \in \{ 0, 1, 2 \}}\) i spełnia \(\displaystyle{ M \equiv c + n \pmod{3}}\).
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Dekorowanie stołów

Post autor: arek1357 »

Zapisz sobie:

\(\displaystyle{ c=3k+r_{1}, z=3l+r_{2}, n=3s+r_{3}}\)

Podstaw do tego wzoru ładnie się upraszcza i łatwo wyciągać wnioski...
ODPOWIEDZ