Hej,
podczas rozwiązywania zadań wyskoczyły mi sumy, które zapiszę niżej. Proszę o pomoc - przyda się nawet jakaś ciekawostka
1. $$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-b}{a}\rfloor} {n \choose a\cdot k+b} = ?, $$ dla \(\displaystyle{ n, a }\) naturalnych, dodatnich, oraz $$b \in \{0,1,2,...a-1\}.$$
Mam wynik dla \(\displaystyle{ \{a=2\}}\), lecz z większym \(\displaystyle{ a}\) mam problem.
Szczególnie interesuje mnie suma $$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{4}\rfloor} {n \choose 4\cdot k} = ?. $$
2. $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^i {n \choose k} k! = ?, $$
oraz
$$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} k! = ?. $$
Czy istnieje zwarta forma powyższych sum?
Proszę o pomoc / wskazówki.
Pozdrowienia
Uproszczenia sum z Symbolem Newtona
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
Re: Uproszczenia sum z Symbolem Newtona
$$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{4}\rfloor} {n \choose 4\cdot k} = 2^{n-2}+2^{ \frac{n-2}{2} }\cos \frac{n \pi }{4} $$
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Re: Uproszczenia sum z Symbolem Newtona
To jest suma związana z podsilnią
Kod: Zaznacz cały
https://mathworld.wolfram.com/Subfactorial.html
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^i {n \choose k} k! =\left( -1\right)^n \left\lfloor {\frac {n!}{e}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor}\)
Ta suma wyraża się przez niepełną funkcję \(\displaystyle{ \Gamma}\) to znaczy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} k!= \int_{1}^{ \infty }\xi^ne^{-\xi+1} \, \dd \xi }\)
W pełnej ogólności może być trudno ale dla konkretnych \(\displaystyle{ a,b}\) można liczyć takie sumy. Tak wygląda kilka pierwszych wzorów
Ukryta treść:
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10256
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2377 razy
Re: Uproszczenia sum z Symbolem Newtona
\(\displaystyle{ \sum_{k} \binom{n}{a \cdot k + b} = \frac{1}{a} \sum_{\omega^a = 1} \omega^{-b} (1+\omega)^n}\)