Uproszczenia sum z Symbolem Newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Uproszczenia sum z Symbolem Newtona

Post autor: Matiks21 »

Hej,
podczas rozwiązywania zadań wyskoczyły mi sumy, które zapiszę niżej. Proszę o pomoc - przyda się nawet jakaś ciekawostka ;)

1. $$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-b}{a}\rfloor} {n \choose a\cdot k+b} = ?, $$ dla \(\displaystyle{ n, a }\) naturalnych, dodatnich, oraz $$b \in \{0,1,2,...a-1\}.$$

Mam wynik dla \(\displaystyle{ \{a=2\}}\), lecz z większym \(\displaystyle{ a}\) mam problem.

Szczególnie interesuje mnie suma $$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{4}\rfloor} {n \choose 4\cdot k} = ?. $$


2. $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^i {n \choose k} k! = ?, $$
oraz
$$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} k! = ?. $$
Czy istnieje zwarta forma powyższych sum?


Proszę o pomoc / wskazówki.

Pozdrowienia
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Uproszczenia sum z Symbolem Newtona

Post autor: kerajs »

Matiks21 pisze: 27 lip 2021, o 00:13 Szczególnie interesuje mnie suma $$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{4}\rfloor} {n \choose 4\cdot k} = ?. $$
$$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{4}\rfloor} {n \choose 4\cdot k} = 2^{n-2}+2^{ \frac{n-2}{2} }\cos \frac{n \pi }{4} $$
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Uproszczenia sum z Symbolem Newtona

Post autor: Janusz Tracz »

Matiks21 pisze: 27 lip 2021, o 00:13
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^i {n \choose k} k! }\)
To jest suma związana z podsilnią

Kod: Zaznacz cały

https://mathworld.wolfram.com/Subfactorial.html
lub nieporządkami

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement


\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^i {n \choose k} k! =\left( -1\right)^n \left\lfloor {\frac {n!}{e}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor}\)
Matiks21 pisze: 27 lip 2021, o 00:13
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} k!}\)
Ta suma wyraża się przez niepełną funkcję \(\displaystyle{ \Gamma}\) to znaczy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} k!= \int_{1}^{ \infty }\xi^ne^{-\xi+1} \, \dd \xi }\)
Matiks21 pisze: 27 lip 2021, o 00:13
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-b}{a}\rfloor} {n \choose a\cdot k+b}}\)
W pełnej ogólności może być trudno ale dla konkretnych \(\displaystyle{ a,b}\) można liczyć takie sumy. Tak wygląda kilka pierwszych wzorów
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Uproszczenia sum z Symbolem Newtona

Post autor: Dasio11 »

\(\displaystyle{ \sum_{k} \binom{n}{a \cdot k + b} = \frac{1}{a} \sum_{\omega^a = 1} \omega^{-b} (1+\omega)^n}\)
ODPOWIEDZ