Niech zbiór \(\displaystyle{ B}\) zawiera \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N^{+}}}\) punktów oraz \(\displaystyle{ n > 1}\). Jeśli każde dwa z tych punktów są oddalone od siebie o różną odległość, to istnieje taka para pewnych punktów \(\displaystyle{ X, Y}\), między którymi odległość jest najmniejsza. Zauważmy, że jeśli wśród dowolnych odległości w tym zbiorze \(\displaystyle{ |XY|}\) jest najmniejsza, to zarówno z punktu \(\displaystyle{ X}\) prowadzimy odcinek do punktu \(\displaystyle{ Y}\), jak i z punktu \(\displaystyle{ Y}\) do punktu \(\displaystyle{ X}\). Powstał więc jedynie jeden odcinek.Dany jest taki skończony zbiór \(\displaystyle{ B}\) punktów przestrzeni, że każde dwie odległości między punktami tego zbioru są różne. Każdy punkt zbioru \(\displaystyle{ B}\) łączymy odcinkiem z najbliższym mu punktem zbioru \(\displaystyle{ B}\). Jeden (dowolnie wybrany) z otrzymanych odcinków malujemy na czerwono, wszystkie pozostałe na zielono. Dowieść, że istnieją takie dwa punkty zbioru \(\displaystyle{ B}\), których nie można połączyć łamaną złożoną z odcinków zielonych.
Rozważmy teraz pozostałe z punktów i weźmy pewien z nich, niech będzie to \(\displaystyle{ P}\). Jeśli został już połączony z innym punktem, nazwijmy go \(\displaystyle{ Q}\), a z punktu \(\displaystyle{ P}\) jest najbliżej do punktu \(\displaystyle{ Q}\), to nie powstał nowy odcinek. W innym wypadku dorysowujemy jeden odcinek. Wynika z tego, że nie może powstać z pozostałych punktów więcej niż \(\displaystyle{ n-2}\) odcinków, a więc łącznie liczba odcinków nie może być większa niż \(\displaystyle{ n-1}\).
Jeśli pewne punkty nie są ze sobą połączone łamaną, to koniec. Załóżmy więc, że wszystkie odcinki są połączone pewną łamaną. Udowodnimy, że nie mogła w ten sposób powstać łamana zamknięta. Załóżmy, nie wprost, że dla pewnego ułożenia tych punktów jednak powstała. Niech powstała łamana zamknięta ma \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N_{\ge{3}}}}\) wierzchołków. Wówczas usuwając kolejno punkty nienależące do niej, zostaje \(\displaystyle{ k}\) punktów połączonych \(\displaystyle{ k}\) odcinkami. Jednak udowodniliśmy, że dla danej liczby punktów, liczba powstałych odcinków musi być od niej mniejsza. Sprzeczność. A więc nie może powstać łamana zamknięta.
Teraz zauważmy, że jeśli pewien odcinek \(\displaystyle{ CD}\) tej łamanej jest czerwony, a pozostałe pokolorowane na zielono, to nie możemy połączyć obu końców tego czerwonego odcinka. Gdyby bowiem byłoby to możliwe, to musiałaby istnieć pewna łamana zamknięta łącząca te punkty. Sprzeczność. A więc istnieją pewne dwa punkty należące do tego zbioru, których nie można połączyć zielonymi odcinkami, co należało wykazać.
Z góry dziękuję za pomoc.
