Ile jest rozwiązań równania

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Gobaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 7 lut 2020, o 09:46
Płeć: Kobieta
wiek: 28

Ile jest rozwiązań równania

Post autor: Gobaran » 12 lut 2020, o 23:00

Dzień dobry,
Mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania:
Ile jest rozwiązań \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n }\) w liczbach naturalnych
a) \(\displaystyle{ x_{i} \ge 0 }\)
b) \(\displaystyle{ x_{i} > i }\)

Odpowiedź do podpunktu a to \(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!} }\) ale nie wiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ (n+k-1)! }\).
W podpunkcie b nie wiem czym jest \(\displaystyle{ i}\).

Bardzo proszę o podpowiedź.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 345
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 96 razy

Re: Ile jest rozwiązań równania

Post autor: JHN » 12 lut 2020, o 23:53

a) Kombinacja z powtórzeniami
b) to znaczy: \(\displaystyle{ x_1>1\wedge x_2>2\wedge\cdots}\)

Pozdrawiam

Gobaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 7 lut 2020, o 09:46
Płeć: Kobieta
wiek: 28

Re: Ile jest rozwiązań równania

Post autor: Gobaran » 13 lut 2020, o 20:31

Dziękuję za odpowiedź, przykład a jest dla mnie teraz jasny.
Z przykładem b mam niestety dalej problem.
Wywnioskowałam, że zależnie od wartości poszczególnych \(\displaystyle{ x_{i}}\) wartość równania może być \(\displaystyle{ \le n}\).
Wiem też że będzie \(\displaystyle{ k-1}\) elementowych kombinacji tylko nie wiem z jakiego zbioru.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 345
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 96 razy

Re: Ile jest rozwiązań równania

Post autor: JHN » 13 lut 2020, o 22:09

Niech
\(\displaystyle{ x_1=1+a_1\wedge x_2=2+a_2\wedge\cdots \wedge x_k=k+a_k }\)

wtedy rozwiązania spełniające warunki równania b) spełnią
\(\displaystyle{ a_1 +a_2 +\cdots a_k= n-(1+2+\cdots +k)}\)

i dalej jak w a)

Pozdrawiam

Gobaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 7 lut 2020, o 09:46
Płeć: Kobieta
wiek: 28

Re: Ile jest rozwiązań równania

Post autor: Gobaran » 13 lut 2020, o 23:02

Bardzo dziękuję za odpowiedź.
Ciężko mi uwierzyć że odpowiedź ma tak wyglądać.
\(\displaystyle{ \binom{n-\ (1+2+\ ...\ +\ k)\ -1\ }{k-1\ }}\)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 345
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 96 razy

Re: Ile jest rozwiązań równania

Post autor: JHN » 13 lut 2020, o 23:34

Ponadto
\(\displaystyle{ 1+2+\cdots +k=\frac{1+k}{2}\cdot k}\)
oraz pod pewnymi założeniami...

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ