Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Emiel Regis » 13 sie 2008, o 14:03

Wartość oczekiwana zmiennej losowej


Poniżej postaram się sumarycznie przedstawić informacje dotyczące wartości oczekiwanej z jakimi osobiście spotkałem się czytając najróżniejsze książki do rachunku prawdopodobieństwa. Będzie to takie encyklopedyczne podejście, w którym zbiorę dostępne wiadomości o wartości oczekiwanej w jednym miejscu, jeśli ktoś poszukuje dowodów to najlepiej sięgnąć po stosowną literaturę.


\(\displaystyle{ \hline}\)

Wartość oczekiwaną możemy intuicyjnie rozumieć jako średnią wartość zmiennej losowej.
Gdyby prawdopodobieństwo interpretować jako masę rozłożoną na pewnym zbiorze to wartość oczekiwana będzie oznaczała środek masy prawdopodobieństwa.


Oznaczenia i formalne wprowadzenie wielkości, które pojawią się w dalszej części:

\(\displaystyle{ X: (\Omega, \mathcal{F}, P) \longrightarrow (R, \mathcal{B}, P^X) \hbox{ - zmienna losowa}\\ \\
P^X \hbox{ - rozkład zmiennej losowej X, miara transportowana}\\ \\
P^X(B)=PX^{-1}(B) = P(X^{-1}(B))= P(\{\omega:X(\omega) \in B\})=P(X \in B), \ \ B \in \mathcal{B}}\)



\(\displaystyle{ \hline}\)

Definicja

\(\displaystyle{ EX:=\int X(\omega)dP(\omega)}\)

Powyższy fakt można także zapisać następująco:

\(\displaystyle{ EX=\int X(\omega)dP(\omega) = \int X(\omega) P(d \omega) = \int x dF(x)}\)

Pierwsze dwie całki są to całki względem miary (tylko zapis inny) natomiast trzecia jest to całka Stieltjesa wg dystrybuanty.

Konwencja: gdy nie piszę po jakim zbiorze jest dana całka oznacza to, iż jest ona po całej przestrzeni.


\(\displaystyle{ \hline}\)

Uwagi oraz twierdzenia


Wartość oczekiwana jest to całka, zatem własności wartości oczekiwanej są to de facto własności całki.

1. Istnienie wartości oczekiwanej

\(\displaystyle{ EX \hbox{ istnieje } \ \iff \ EX^+ < \infty \ \vee \ EX^- < \infty}\)


2. Całkowalność zmiennej losowej

\(\displaystyle{ \hbox{X jest całkowalna } \iff EX^+ < \infty \wedge EX^- < \infty \iff E|X| < \infty}\)


3. Obliczanie wartości oczekiwanej dla rozkładów absolutnie ciągłych oraz dyskretnych

a) rozkład absolutnie ciągły

\(\displaystyle{ EX = \int_{\mathbb{R}}x f(x) dx}\)

b) rozkład dyskretny

\(\displaystyle{ EX = \sum_i x_i \cdot P(X=x_i)}\)


4. Obliczanie wartości oczekiwanej za pomocą dystrybuanty

a) wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej

\(\displaystyle{ Z: X \geqslant 0 \\ \\
T: EX = \int_0^{+ \infty}(1-F(t))dt}\)


b) ogólniej można napisać wzór na k-ty moment zwykły nieujemnej zmiennej losowej

\(\displaystyle{ Z: X \geqslant 0 \\ \\
T: EX^k = k \int_0^{+ \infty}t^{k-1}(1-F(t))dt}\)



5. Monotoniczność

\(\displaystyle{ Z: X \geqslant Y \hbox{ prawie wszędzie} \\ \\
T: EX \geqslant EY}\)



6. Nierówność Jensena

\(\displaystyle{ Z: \varphi \hbox{ funkcja wypukła; } X, \varphi(X) - \hbox{ całkowalne}\\ \\
T: E \varphi(X) \geqslant \varphi(EX)}\)



7. Nierówność Höldera

\(\displaystyle{ Z: p, q \geqslant 1 \ \ \ \wedge \ \ \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\\ \\
T: E|XY| \leqslant \left( E|X|^p \right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( E|Y|^q \right)^{\frac{1}{q}}}\)



8. Nierówność Cauchy'ego - Schwarza

\(\displaystyle{ Z: p=q=2\\ \\
T: E|XY| \leqslant \sqrt{ E|X|^2 \cdot E|Y|^2}}\)



9. Lemat Fatou

\(\displaystyle{ Z: (X_n) \hbox{ - ciąg nieujemnych zmiennych losowych} \\ \\
T: E \left(\liminf_{n \to \infty} X_n \right) \leqslant \liminf_{n \to \infty} EX_n}\)



10. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

\(\displaystyle{ Z: (X_n) \hbox{ - niemalejący ciąg nieujemnych zmiennych losowych} \\ \\
T: E \left(\lim_{n \to \infty} X_n \right) = \lim_{n \to \infty} EX_n}\)



11. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej

\(\displaystyle{ Z: (X_n) \hbox{ ciąg takich zmiennych losowych, \.{z}e } |X_n| \leqslant Z \hbox{ dla pewnej ca\l kowalnej zmiennej losowej } Z \\ \\
T: E \left(\lim_{n \to + \infty} X_n \right) = \lim_{n \to \infty} EX_n}\)



\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ