Rozkład dwumianowy
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}(n, p)}\)
\(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ p \in [0,1], \ \ q = 1-p}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)
I Podstawowe informacje
1. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ P(X=k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}, \ \ \ k \in \{0, 1, \ldots, n\}}\)
2. Dystrybuanta
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{k \leqslant x} {n \choose k} p^k q^{n-k}, \ \ \ k \in \{0, 1, \ldots, n\}}\)
3. Wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ EX=np}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ Var(X)=npq}\)
Dowód:
5. Funkcja charakterystyczna
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \left (q+pe^{it} \right)^n}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \hline}\)
II Uwagi
1. Odpowiedni ciąg rozkładów dwumianowych zbiega do rozkładu Poissona
Więcej można przeczytać tutaj:
Rozkład Poissona
2. Wielu autorów (szczególnie polskich) traktuje określenia rozkładów - dwumianowy oraz Bernoulliego - jako synonimy, natomiast jest to prawdopodobnie błędem, gdyż oryginalnie rozkład Bernoulliego to był rozkład zero-jedynkowy (próba Bernoulliego), natomiast rozkład dwumianowy opisuje ciąg prób Bernoulliego.
Więcej można przeczytać np. na stronach Wolfram czy też PlanetMath:
[url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=BernoulliRandomVariable]PlanetMath[/url]
3. Zgodnie z powyższą uwagą widzimy więc, że rozkład Bernoulliego jest to szczególny przypadek rozkładu dwumianowego. Dodatkowo suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Bernoulliego ma rozkład dwumianowy - z tego faktu będę korzystał przy obliczaniu momentów zmiennej o rozkładzie dwumianowym, wiele to upraszcza rachunki.
Formalnie możemy powyższy fakt zapisać następująco:
\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{B}(1,p) \ \ \ \wedge \ \ \ X_1, \ldots, X_n - \hbox{niezależne zmienne losowe}}\)
\(\displaystyle{ T: X = \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{B}(n,p)}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)