Rozkład dwumianowy

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład dwumianowy

Post autor: Emiel Regis » 12 sie 2008, o 20:22

Rozkład dwumianowy


\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}(n, p)}\)

\(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ p \in [0,1], \ \ q = 1-p}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)

I Podstawowe informacje


1. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ P(X=k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}, \ \ \ k \in \{0, 1, \ldots, n\}}\)


2. Dystrybuanta

\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{k \leqslant x} {n \choose k} p^k q^{n-k}, \ \ \ k \in \{0, 1, \ldots, n\}}\)


3. Wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ EX=np}\)
Dowód:    
4. Wariancja

\(\displaystyle{ Var(X)=npq}\)
Dowód:    

5. Funkcja charakterystyczna

\(\displaystyle{ \varphi(t)= \left (q+pe^{it} \right)^n}\)
Dowód:    

\(\displaystyle{ \hline}\)

II Uwagi


1. Odpowiedni ciąg rozkładów dwumianowych zbiega do rozkładu Poissona

Więcej można przeczytać tutaj:

Rozkład Poissona


2. Wielu autorów (szczególnie polskich) traktuje określenia rozkładów - dwumianowy oraz Bernoulliego - jako synonimy, natomiast jest to prawdopodobnie błędem, gdyż oryginalnie rozkład Bernoulliego to był rozkład zero-jedynkowy (próba Bernoulliego), natomiast rozkład dwumianowy opisuje ciąg prób Bernoulliego.


Więcej można przeczytać np. na stronach Wolfram czy też PlanetMath:



[url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=BernoulliRandomVariable]PlanetMath[/url]


3. Zgodnie z powyższą uwagą widzimy więc, że rozkład Bernoulliego jest to szczególny przypadek rozkładu dwumianowego. Dodatkowo suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Bernoulliego ma rozkład dwumianowy - z tego faktu będę korzystał przy obliczaniu momentów zmiennej o rozkładzie dwumianowym, wiele to upraszcza rachunki.

Formalnie możemy powyższy fakt zapisać następująco:

\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{B}(1,p) \ \ \ \wedge \ \ \ X_1, \ldots, X_n - \hbox{niezależne zmienne losowe}}\)

\(\displaystyle{ T: X = \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{B}(n,p)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)

ODPOWIEDZ