Rozkład Poissona

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład Poissona

Post autor: Emiel Regis » 11 sie 2008, o 17:28

Rozkład Poissona


\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{P}(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ \lambda > 0}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)

I Podstawowe informacje


1. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \ \ \ k \in \mathbb{N}_0}\)


2. Dystrybuanta

\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{k \leqslant x} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \ \ \ k \in \mathbb{N}_0}\)


3. Wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ EX=\lambda}\)
Dowód:    

4. Wariancja

\(\displaystyle{ Var(X)=\lambda}\)
Dowód:    

5. Funkcja charakterystyczna

\(\displaystyle{ \varphi(t)= \exp \left \{ \lambda(e^{it}-1) \right \}}\)
Dowód:    
\(\displaystyle{ \hline}\)

II Uwagi


1. Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym dla ciągu odpowiednich rozkładów dwumianowych

\(\displaystyle{ Z: X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n) \ \ \ \wedge \ \ \ X \sim \mathcal{P}(\lambda) \\ \\
T: n \to \infty, \ p_n \to 0, \ np_n \to \lambda \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ X_n \stackrel{d}{\longrightarrow} X}\)

Dowód:    

2. Suma zmiennych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona

Więcej można przeczytać tutaj:

Zależności między rozkładami


\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ