Rozkład gamma

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład gamma

Post autor: Emiel Regis » 10 sie 2008, o 20:07

Rozkład gamma


\(\displaystyle{ X \sim \Gamma(k, \lambda)}\)

\(\displaystyle{ k > 0 \text{ - parametr kształtu}}\)

\(\displaystyle{ \lambda > 0 \hbox{ - parametr skali}}\)




I Podstawowe informacje


1. Gęstość prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)}x^{k-1} e^{-\lambda x} \cdot 1_{[0, \infty)}(x)}\)


2. Dystrybuanta

\(\displaystyle{ F(x) = \int_{-\infty}^x f(u)du}\)


3. Wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ EX=\frac{k}{\lambda}}\)
Dowód:    

4. Wariancja

\(\displaystyle{ Var(X)=\frac{k}{\lambda^2}}\)
Dowód:    

5. Funkcja charakterystyczna

\(\displaystyle{ \varphi(t)= \left(1-\frac{it}{\lambda} \right)^{-k}}\)
Dowód:    



II Uwagi


1. Często spotykana jest odwrotna parametryzacja, tzn.:

\(\displaystyle{ [0, \infty) \ni \frac{1}{\beta} = \lambda \in [0, \infty)}\)

Wtedy w każdym z powyższych wzorów należy zamiast parametru wstawić jego odwrotność, np. gęstość będzie wyglądała następująco:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\lambda^k \cdot \Gamma(k)}x^{k-1} \exp \left \{-\frac{x}{\lambda} \right \} \cdot 1_{[0, \infty)}(x)}\)


2. Funkcja gamma

Postać funkcji gamma dla dodatniego argumentu rzeczywistego:

\(\displaystyle{ \Gamma(k) = \int_0^{\infty}x^{k-1}e^{-x} dx}\)

ODPOWIEDZ