Zbieżność ciągów zmiennych losowych

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zbieżność ciągów zmiennych losowych

Post autor: Emiel Regis » 29 lip 2008, o 17:50

Wstęp


W analizie matematycznej rozpatruje się zbieżność ciągów funkcyjnych, natomiast w rachunku prawdopodobieństwa analogonem ciągów funkcyjnych są ciągi zmiennych losowych. Z pewnych względów często nie wymaga się "tradycyjnej" zbieżności od zmiennych losowych, właśnie o tym będzie ten artykuł.

Na początek przypomnę definicję punktowej zbieżności ciągów funkcyjnych między przestrzeniami metrycznymi.

\(\displaystyle{ f, f_n: (X, d_X) \longrightarrow (Y, d_Y), \ \ n \in \mathbb{N}}\)

Zbieżność punktową ciągu funkcyjnego \(\displaystyle{ (f_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) zbiegającego do funkcji \(\displaystyle{ f}\) zapisujemy następująco:

\(\displaystyle{ f_n \longrightarrow f \ \iff \ \bigwedge_{x \in X} \ \bigwedge_{ \epsilon > 0} \ \bigvee_{n_0 \in \mathbb{N}} \ \bigwedge_{n > n_0} \ \ d_Y \left ( f_n(x), f(x) \right) < \epsilon}\)


Rozpatrzmy teraz przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ ( \Omega, \mathcal{F}, P)}\) oraz określony na niej ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)_{n \in \mathbb{N}}}\).

\(\displaystyle{ X, X_n: \Omega \longrightarrow (Y, | \cdot |), \ \ n \in \mathbb{N}}\)

Powyższy warunek na zbieżność punktową przyjmuje teraz postać:

\(\displaystyle{ X_n \longrightarrow X \ \iff \ \bigwedge_{ \omega \in \Omega} \ \bigwedge_{ \epsilon > 0} \ \bigvee_{n_0 \in \mathbb{N}} \ \bigwedge_{n > n_0} \ \ \left | X_n( \omega) - X( \omega) \right| < \epsilon}\)


Można teraz pójść w dwie strony, w zależności od potrzeb wymagać mocniejszej zbieżności od ciągu bądź też słabszej. Przypomnę jeszcze z analizy zbieżność mocniejszą od punktowej mianowicie zbieżność jednostajną:

\(\displaystyle{ X_n \ _{ \longrightarrow}^{ \longrightarrow} \ X \ \iff \ \bigwedge_{ \epsilon > 0} \ \bigvee_{n_0 \in \mathbb{N}} \ \bigwedge_{n > n_0} \ \bigwedge_{ \omega \in \Omega} \ \ \left | X_n( \omega) - X( \omega) \right| < \epsilon}\)

Warto zapamiętać, że zbieżność jednostajna implikuje zbieżność punktową.

Powoli będę przechodził do sedna artykułu. W obu powyższych zbieżnościach widać, że chcemy aby ciąg zbiegał dla każdego elementu dziedziny, na której jest określony. W rachunku prawdopodobieństwa bardzo często będzie nas interesowała słabsza zbieżność. Dlatego teraz przedstawię drugi punkt widzenia - tzn. jak osłabić zbieżność punktową. Poniżej wypunktowuję cztery podstawowe w rachunku prawdopodobieństwa rodzaje zbieżności.


\(\displaystyle{ \hline}\)
Zbieżność z prawdopodobieństwem 1 (prawie wszędzie, prawie na pewno, prawie pewnie)

\(\displaystyle{ X_n \stackrel{p.w.}{ \longrightarrow} X \ \iff \ P( \{ \omega: X_n( \omega) \longrightarrow X( \omega) \}) = 1}\)

Mówiąc obrazowo, chcemy aby zbieżność zachodziła na zbiorze pełnej miary tzn. w odróżnieniu od poprzednich zbieżności dopuszczamy teraz aby ciąg nie zbiegał na zbiorze miary zero.


\(\displaystyle{ \hline}\)
Zbieżność wg prawdopodobieństwa (wg miary, stochastyczna)

\(\displaystyle{ X_n \stackrel{P}{ \longrightarrow} X \ \iff \ \bigwedge_{ \epsilon > 0} \ P( \{ \omega: |X_n( \omega) -X( \omega)| > \epsilon}) \longrightarrow 0}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
Zbieżność średniokwadratowa

\(\displaystyle{ \mbox{l.i.m. } X_n = X \ \iff \ \lim_{n \to \infty} E(|X_n-X|^2) = 0}\)

l.i.m. jest to oznaczenie zbieżności średniokwadratowej, powstało ono od słów "limit in mean".


\(\displaystyle{ \hline}\)
Słaba zbieżność rozkładów, dystrybuant, zmiennych losowych

Ciąg dystrybuant \(\displaystyle{ (F_n)}\) słabo zbiega do dystrybuanty \(\displaystyle{ F}\) gdy \(\displaystyle{ F_n(x) \longrightarrow F(x)}\) dla \(\displaystyle{ x}\) będących punktami ciągłości dystrybuanty granicznej \(\displaystyle{ F}\).
Gdy \(\displaystyle{ F_n}\) są dystrybuantami rozkładów \(\displaystyle{ P_n}\) a \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą \(\displaystyle{ P}\) to mówimy, że \(\displaystyle{ P_n}\) zbiega słabo do \(\displaystyle{ P}\).

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ F_n \Longrightarrow F}\)

\(\displaystyle{ P_n \Longrightarrow P}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ X_n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ P_n}\) oraz \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P_n \Longrightarrow P}\) to mówimy, że ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)}\) zbiega słabo (wg rozkładu) do \(\displaystyle{ X}\).

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ X_n \Longrightarrow X}\)

\(\displaystyle{ X_n \stackrel{d}{\longrightarrow} X}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)

Na zakończenie podam twierdzenia, które mówią o zależnościach pomiędzy podanymi wyżej rodzajami zbieżności.



Twierdzenie 1

Zbieżność prawie wszędzie implikuje zbieżność wg prawdopodobieństwa.


Twierdzenie 2

Zbieżność średniokwadratowa implikuje zbieżność wg prawdopodobieństwa.


Twierdzenie 3

Zbieżność wg prawdopodobieństwa implikuje zbieżność wg rozkładu.


Twierdzenie 4

Zbieżność wg rozkładu do stałej implikuje zbieżność wg prawdopodobieństwa.

Wniosek
Z twierdzenia 3 i 4 wynika, że zbieżność wg prawdopodobieństwa do stałej jest równoważna zbieżności wg rozkładu.


Twierdzenie Levy'ego - Cramera

Założenia:

\(\displaystyle{ (\mu_n)}\) - ciąg rozkładów na prostej o funkcjach charakterystycznych \(\displaystyle{ (\varphi _n)}\)
\(\displaystyle{ \varphi _n(t) \longrightarrow \varphi(t) \ \ \forall t}\)
\(\displaystyle{ \varphi (t)}\) - ciągła w zerze

Teza:

\(\displaystyle{ \varphi}\) - funkcja charakterystyczna pewnego rozkładu \(\displaystyle{ \mu}\) oraz \(\displaystyle{ \mu _n \Longrightarrow \mu}\)

Wniosek
Z powyższego twierdzenia wynika, iż zbieżność dystrybuant jest równoważna zbieżności funkcji charakterystycznych.


\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ