Rozkład wykładniczy

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: Emiel Regis » 27 lip 2008, o 19:33

Rozkład wykładniczy


\(\displaystyle{ X \sim Exp(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ \lambda > 0 \hbox{ - parametr skali}}\)



I Podstawowe informacje


1. Gęstość prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \cdot 1_{[0, \infty)}(x)}\)


2. Dystrybuanta

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 &\text{dla } x \in (-\infty,0) \\ 1 - e^{-\lambda x} &\text{dla } x \in [0,\infty) \end{cases}}\)


3. Wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ EX= \frac{1}{ \lambda}}\)
Dowód:    

4. Wariancja

\(\displaystyle{ Var(X)= \frac{1}{ \lambda^2}}\)
Dowód:    

5. Funkcja charakterystyczna

\(\displaystyle{ \varphi(t)= \frac{ \lambda}{ \lambda-it}}\)
Dowód:    



II Uwagi


1. Często spotykana jest odwrotna parametryzacja, tzn.:

\(\displaystyle{ [0, \infty) \ni \frac{1}{ \beta} = \lambda \in [0, \infty)}\)

Wtedy w każdym z powyższych wzorów należy zamiast parametru wstawić jego odwrotność, np. gęstość będzie wyglądała następująco:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{ \beta} \exp \left \{- \frac{x}{ \beta} \right \} \cdot 1_{[0, \infty)}(x)}\)


2. Rozkład wykładniczy jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego i podobnie jak on posiada własność braku pamięci.

Własność ta oznacza, iż:

\(\displaystyle{ P(X > x+y|X>x) = P(X>y)}\)

ODPOWIEDZ