Rozkład wykładniczy

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: Emiel Regis » 27 lip 2008, o 19:33

Rozkład wykładniczy


\(\displaystyle{ X \sim Exp(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ \lambda > 0 \hbox{ - parametr skali}}\)



I Podstawowe informacje


1. Gęstość prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ f(x) = lambda e^{-lambda x} cdot 1_{[0, infty)}(x)}\)


2. Dystrybuanta

\(\displaystyle{ F(x) = egin{cases} 0 hbox{ dla } x in (-infty,0) \ 1 - e^{-lambda x} hbox{ dla } x in [0,infty) end{cases}}\)


3. Wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ EX= \frac{1}{ \lambda}}\)
Dowód:    

4. Wariancja

\(\displaystyle{ Var(X)= \frac{1}{ \lambda^2}}\)
Dowód:    

5. Funkcja charakterystyczna

\(\displaystyle{ \varphi(t)= \frac{ \lambda}{ \lambda-it}}\)
Dowód:    

\(\displaystyle{ \hline}\)

II Uwagi


1. Często spotykana jest odwrotna parametryzacja, tzn.:

\(\displaystyle{ [0, infty)
i frac{1}{ eta} = lambda in [0, infty)}\)


Wtedy w każdym z powyższych wzorów należy zamiast parametru wstawić jego odwrotność, np. gęstość będzie wyglądała następująco:

\(\displaystyle{ f(x) = frac{1}{ eta} exp left {- frac{x}{ eta}
ight } cdot 1_{[0, infty)}(x)}\)



2. Rozkład wykładniczy jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego i podobnie jak on posiada własność braku pamięci.

Własność ta oznacza, iż:

\(\displaystyle{ P(X > x+y|X>x) = P(X>y)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ