Zależności między najbardziej znanymi rozkładami

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zależności między najbardziej znanymi rozkładami

Post autor: Emiel Regis » 27 lip 2008, o 14:02

Wstęp


Sądzę że warto zebrać w jednym miejscu powiązania między różnymi rozkładami prawdopodobieństwa. Często w zadaniach są potrzebne różne zależności i dobrze jest je mieć wszystkie razem dlatego też poniżej wypiszę te, z których osobiście korzystałem oraz te które są mi znane. Do niektórych postaram się dopisać dowody podanych zależności, w miarę upływu czasu powinno ich być coraz to więcej.

Wszędzie poniżej zakładam, że zmienne losowe, które występują w założeniach są niezależne.


\(\displaystyle{ \hline}\)
I Rozkład Bernoulliego (zero-jedynkowy)
1. Suma zmiennych o rozkładzie zero-jedynkowym ma rozkład dwumianowy.

\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{B}(1,p)}\)

\(\displaystyle{ T: \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{B}(n,p)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
II Rozkład chi-kwadrat
1. Rozkład chi-kwadrat jako szczególny przypadek rozkładu gamma.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \chi^2_n}\)

\(\displaystyle{ T: X \sim \Gamma \left(\frac{n}{2},2 \right)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
III Rozkład dwumianowy
1. Suma zmiennych o rozkładzie dwumianowym ma rozkład dwumianowy.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{B}(n,p) \ \ \wedge \ \ Y \sim \mathcal{B}(m,p)}\)

\(\displaystyle{ T: X+Y \sim \mathcal{B}(n+m,p)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
IV Rozkład F Snedecora
1. Odwrotność zmiennej o rozkładzie F ma rozkład F.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{F}(\nu_1, \nu_2)}\)

\(\displaystyle{ T: \frac{1}{X} \sim \mathcal{F}(\nu_2, \nu_1)}\)

2. Odpowiedni iloraz zmiennych o rozkładach F ma rozkład beta.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{F}(\nu_1, \nu_2)}\)

\(\displaystyle{ T: \frac{\nu_1 \frac{X}{\nu_2}}{1+\nu_1 \frac{X}{\nu_2}} \sim \mathcal{B}e(\frac{\nu_1}{2}, \frac{\nu_2}{2})}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
V Rozkład geometryczny
1. Suma zmiennych o rozkładzie geometrycznym ma rozkład ujemny dwumianowy.

\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_r \sim \mathcal{G}e(p)}\)

\(\displaystyle{ T: \sum_{i=1}^r X_i \sim \mathcal{NB}(r,p)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
VI Rozkład jednostajny ciągły
1. Standardowy rozkład jednostajny jako szczególny przypadek rozkładu beta.

\(\displaystyle{ Z: X \sim U[0,1]}\)

\(\displaystyle{ T: X \sim \mathcal{B}e(1,1)}\)

2. Nieco zmodyfikowany logarytm naturalny zmiennej o standardowym rozkładzie jednostajnym ma rozkład wykładniczy.

\(\displaystyle{ Z: X \sim U[0,1] \ \ \wedge \ \ \lambda > 0}\)

\(\displaystyle{ T: -\frac{\ln X}{\lambda} \sim Exp(\lambda)}\)
Dowód:    

\(\displaystyle{ \hline}\)
VII Rozkład normalny
1. Iloraz standardowych zmiennych normalnych ma rozkład Cauchy'ego.

\(\displaystyle{ Z: X, Y \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ T: \frac{X}{Y} \sim \mathcal{C}(0,1)}\)

2. Suma kwadratów standardowych zmiennych normalnych ma rozkład chi-kwadrat.

\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ T: X_1^2 + \ldots + X_n^2 \sim \chi^2_n}\)

3. Pierwiastek z sumy kwadratów dwóch zmiennych normalnych ma rozkład Rayleigha.

\(\displaystyle{ Z: X, Y \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)}\)

\(\displaystyle{ T: \sqrt{X^2+Y^2} \sim \mathcal{R}a(\sigma^2)}\)

4. Funkcja ekspotencjalna zmiennej normalnej ma rozkład logarytmiczno-normalny.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\)

\(\displaystyle{ T: e^X \sim \mathcal{LN}(\mu, \sigma^2)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
VIII Rozkład t Studenta
1. Definicja rozkładu.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{N}(0,1) \ \ \wedge \ \ Y \sim \chi^2_k}\)

\(\displaystyle{ T: \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{k}}}} \sim t_k}\)

2. Kwadrat zmiennej o rozkładzie t ma rozkład F.

\(\displaystyle{ Z: X \sim t_n}\)

\(\displaystyle{ T: X^2 \sim F(1,n)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
IX Rozkład wykładniczy
1. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu gamma.

\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ T: X \sim \Gamma(1, \lambda)}\)

2. Suma zmiennych wykładniczych ma rozkład gamma.

\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda) \sim \Gamma(1, \lambda)}\)

\(\displaystyle{ T: \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda)}\)

3. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu Erlanga.

\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ T: X \sim \mathcal{E}r(1, \lambda)}\)

4. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu Weibulla.

\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ T: X \sim \mathcal{W}e(1, \lambda)}\)

5. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu ujemnego wykładniczego.

\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ T: X \sim NExp(0, \lambda)}\)

6. Minimum zmiennych wykładniczych ma rozkład wykładniczy.

\(\displaystyle{ Z: X_i \sim Exp(\lambda_i), \ \ i=1, \ldots, n}\)

\(\displaystyle{ T: \min \{X_1, \ldots, X_n \} \sim Exp(\lambda_1 + \ldots + \lambda_n)}\)

7. Pierwiastek ze zmiennej wykładniczej ma rozkład Rayleigha.

\(\displaystyle{ Z: X \sim Exp(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ T: \sqrt{\frac{2X}{\lambda}} \sim \mathcal{R}a(\frac{1}{\lambda})}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
X Rozkład Cauchy'ego
1. Rozkład Cauchy'ego jako szczególny przypadek rozkładu t.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{C}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ T: X \sim t_1}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
XI Rozkład Poissona
1. Suma zmiennych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{P}(\lambda_1) \ \ \wedge \ \ Y \sim \mathcal{P}(\lambda_2)}\)

\(\displaystyle{ T: X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)}\)
Dowód:    

\(\displaystyle{ \hline}\)
XII Rozkład Pareto
1. Logarytm naturalny zmiennej o rozkładzie Pareto ma rozkład ujemny wykładniczy.

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{P}a(x_0, \alpha)}\)

\(\displaystyle{ T: \ln (X) \sim NExp(\ln (x_0), \alpha)}\)

Rozkład ujemny wykładniczy jest to zwykły rozkład wykładniczy przesunięty w (tym przypadku) o \(\displaystyle{ \ln (x_0)}\) w prawo.
Dowód:    

\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ