Błądzenie losowe

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Błądzenie losowe

Post autor: Emiel Regis » 26 lip 2008, o 21:00

Błądzenie losowe


Wyobraźmy sobie oś liczbową oraz osobę, która znajduje się w zerze. Osoba ta może wykonać krok o jeden w prawo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) oraz krok o jeden w lewo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-p}\).
Można teraz sobie zadać pytanie jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba ta po np. 10 krokach będzie się znajdowała na pozycji numer 4. Nie jest to bardzo wysublimowane pytanie jednak też nie jest całkiem trywialne. Przed dalszą lekturą proponuję, aby Czytelnik sam spróbował policzyć w/w prawdopodobieństwo.

Opisany powyżej proces stochastyczny nazywany jest w języku prawdopodobieństwa błądzeniem losowym. Aby móc odpowiedzieć na podobne pytania sformułuję owo zagadnienie w sposób już bardziej formalny.

\(\displaystyle{ X_n}\) - zmienna losowa, która określa położenie po n krokach

W dalszej części będę się starał odpowiedzieć na pytanie jakie jest prawdopodobieństwo że po n krokach osoba znajdzie się na k-tej pozycji tzn.:

\(\displaystyle{ P(X_n=k)=?}\)

gdzie \(\displaystyle{ k \in \{ -n, -n+2, \ldots, n-2, n \}}\)

Wprost nie jest tak łatwo na to pytanie odpowiedzieć dlatego stwórzmy pomocniczą zmienną losową:

\(\displaystyle{ Y_n = \frac{X_n+n}{2} \\
Y_{n+1}-Y_n = \frac{X_{n+1}+n+1}{2} - \frac{X_n+n}{2} = \frac{X_{n+1}-X_n}{2}+\frac{1}{2} = \begin{cases} 1 \hbox{ z prawd. }p\\0 \hbox{ z prawd. }1-p\end{cases}}\)


Czyli widzimy, że zmienna losowa \(\displaystyle{ Y_n}\) oznacza liczbę kroków wykonanych w prawo. Jej rozkład jest już dużo łatwiej określić, mianowicie:

\(\displaystyle{ P(Y_n=k) = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}\)

Powracając do zmiennej \(\displaystyle{ X_n}\) możemy napisać:

\(\displaystyle{ P(X_n=k)=P \left(Y_n=\frac{k+n}{2} \right)={n \choose \frac{k+n}{2}}p^{\frac{k+n}{2}}(1-p)^{\frac{n-k}{2}}}\)

Mamy już gotowy wzór jak obliczać interesujące nas prawdopodobieństwo i możemy wrócić do wyjściowego przykładowego pytania, mianowicie jakie jest prawdopodobieństwo, że po 10 krokach będziemy na pozycji numer 4?
Załóżmy, że poruszamy się w prawo i w lewo z jednakowym prawdopodobieństwem tzn.:

\(\displaystyle{ p=1-p=\frac{1}{2} \\
P(X_{10}=4)={10 \choose 7} \left(\frac{1}{2} \right)^7 \left(\frac{1}{2} \right)^3 \approx 0,12}\)


A gdyby osoba miała tendencję do poruszania się np. w prawo:

\(\displaystyle{ p=\frac{2}{3} \\ 1-p = \frac{1}{3} \\
P(X_{10}=4)={10 \choose 7} \left(\frac{2}{3} \right)^7 \left(\frac{1}{3} \right)^3 \approx 0,26}\)


A co by było gdyby \(\displaystyle{ p=\frac{9}{10}}\)? Znów wzrośnie czy może zmaleje szukane prawdopodobieństwo?


\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ