Metoda Hellwiga - 2 przykłady
Opis samej metody znajduje się w temacie Metoda Hellwiga - dobór zmiennych do modelu ekonometrycznego.
przykład 1
Wektor współczynników korelacji między zmienną objaśnianą \(\displaystyle{ Y}\) a zmiennymi objaśniającymi \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3}\) oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi objaśniającymi mają postać:
\(\displaystyle{ R_0 = \left[\begin{array}{r}0,9\\0,7\\-0,4\end{array}\right] \qquad
R=\left[\begin{array}{r@{}l r@{}l r@{}l}1&&-0&,6&0&,4\\
-0&,6&1&&0&,5\\
0&,4&0&,5&1& \end{array}\right]}\)
Wybrać optymalną kombinację zmiennych ze względu na poziom wskaźnika integralnej pojemności informacyjnej spośród wszystkich kombinacji zawierających zmienną \(\displaystyle{ X_2}\).
rozwiązanie
- wszystkie możliwe kombinacje zawierające zmienną \(\displaystyle{ X_2}\):
\(\displaystyle{ C_1=\{X_2\} \\
C_2=\{X_1,X_2\}\\
C_3=\{X_2,X_3\}\\
C_4=\{X_1,X_2,X_3\}}\) - indywidualne (h) oraz integralne (H) wskaźniki pojemności informacyjnej dla każdej kombinacji:
- dla kombinacji \(\displaystyle{ C_1}\)
\(\displaystyle{ h_{12}=\frac{r_2^2}{1}=\frac{0,7^2}{1}=0,49\\ \\
H_1=h_{12}=0,49}\) - dla kombinacji \(\displaystyle{ C_2}\)
\(\displaystyle{ h_{21}=\frac{r_1^2}{1+|r_{12}|}=\frac{0,9^2}{1+|-0,6|}=0,5063\\
h_{22}=\frac{r_2^2}{1+|r_{12}|}=\frac{0,7^2}{1+|-0,6|}=0,3063\\ \\
H_2=h_{21}+h_{22}=0,8126}\) - dla kombinacji \(\displaystyle{ C_3}\)
\(\displaystyle{ h_{32}=\frac{r_2^2}{1+|r_{23}|}=\frac{0,7^2}{1+0,5}=0,3267\\
h_{33}=\frac{r_3^2}{1+|r_{23}|}=\frac{(-0,4)^2}{1+0,5}=0,1067\\ \\
H_3=h_{32}+h_{33}=0,4334}\) - dla kombinacji \(\displaystyle{ C_4}\)
\(\displaystyle{ h_{41}=\frac{r_1^2}{1+|r_{12}|+|r_{13}|}=\frac{0,9^2}{1+|-0,6|+0,4}=0,405\\
h_{42}=\frac{r_2^2}{1+|r_{12}|+|r_{23}|}=\frac{0,7^2}{1+|-0,6|+0,5}=0,2333\\
h_{43}=\frac{r_3^2}{1+|r_{13}|+|r_{23}|}=\frac{(-0,4)^2}{1+0,4+0,5}=0,0842\\ \\
H_4=h_{41}+h_{42}+h_{43}=0,7225}\)
- dla kombinacji \(\displaystyle{ C_1}\)
- kombinacja optymalna - o największym wskaźniku H:
\(\displaystyle{ max\{H_1,H_2,H_3,H_4\}=H_2}\), kombinacja \(\displaystyle{ C_2=\{X_1,X_2\}}\)
proponowany model liniowy ma postać: \(\displaystyle{ Y=\alpha_0+\alpha_1X_1+\alpha_2 X_2}\)
Wektor współczynników korelacji między zmienną objaśnianą \(\displaystyle{ Y}\) a zmiennymi objaśniającymi \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3,X_4}\) oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi objaśniającymi mają postać:
\(\displaystyle{ R_0 = \left[\begin{array}{r}0,1\\-0,3\\-0,7\\0,9\end{array}\right] \qquad
R=\left[\begin{array}{r@{}l r@{}l r@{}l r@{}l}1&&0&,4&-0&,7&0&,5\\
0&,4&1&&-0&,2&0&,8\\
-0&,7&-0&,2&1&&0&,6\\
0&,5&0&,8&0&,6&1& \end{array}\right]}\)
Wybrać optymalną kombinację zmiennych ze względu na poziom wskaźnika integralnej pojemności informacyjnej spośród wszystkich trójelementowych kombinacji zawierających zmienną \(\displaystyle{ X_1}\).
rozwiązanie
- wszystkie możliwe trójelementowe kombinacje zawierające zmienną \(\displaystyle{ X_1}\):
\(\displaystyle{ C_1=\{X_1,X_2,X_3\} \\
C_2=\{X_1,X_2,X_4\}\\
C_3=\{X_1,X_3,X_4\}}\) - indywidualne (h) oraz integralne (H) wskaźniki pojemności informacyjnej dla każdej kombinacji:
- dla kombinacji \(\displaystyle{ C_1}\)
\(\displaystyle{ h_{11}=\frac{r_1^2}{1+|r_{12}|+|r_{13}|}=\frac{0,1^2}{1+0,4+|-0,7|}=0,0048\\
h_{12}=\frac{r_2^2}{1+|r_{12}|+|r_{23}|}=\frac{(-0,3)^2}{1+0,4+|-0,2|}=0,0563\\
h_{13}=\frac{r_3^2}{1+|r_{13}|+|r_{23}|}=\frac{0,7^2}{1+|-0,7|+|-0,2|}=0,2579\\ \\
H_1=h_{11}+h_{12}+h_{13}=0,319}\) - dla kombinacji \(\displaystyle{ C_2}\)
\(\displaystyle{ h_{21}=\frac{r_1^2}{1+|r_{12}|+|r_{14}|}=\frac{0,1^2}{1+0,4+0,5}=0,0053\\
h_{22}=\frac{r_2^2}{1+|r_{12}|+|r_{24}|}=\frac{(-0,3)^2}{1+0,4+0,8}=0,0409\\
h_{24}=\frac{r_4^2}{1+|r_{14}|+|r_{24}|}=\frac{0,9^2}{1+0,5+0,8}=0,3522\\ \\
H_2=h_{21}+h_{22}+h_{24}=0,3984}\) - dla kombinacji \(\displaystyle{ C_3}\)
\(\displaystyle{ h_{31}=\frac{r_1^2}{1+|r_{13}|+|r_{14}|}=\frac{0,1^2}{1+|-0,7|+0,5}=0,0045\\
h_{33}=\frac{r_3^2}{1+|r_{13}|+|r_{34}|}=\frac{0,7^2}{1+|-0,7|+0,6}=0,213\\
h_{34}=\frac{r_4^2}{1+|r_{14}|+|r_{34}|}=\frac{0,9^2}{1+0,5+0,6}=0,3857\\ \\
H_3=h_{31}+h_{33}+h_{34}=0,6032}\)
- dla kombinacji \(\displaystyle{ C_1}\)
- kombinacja optymalna - o największym wskaźniku H:
\(\displaystyle{ max\{H_1,H_2,H_3\}=H_3}\), kombinacja \(\displaystyle{ C_3=\{X_1,X_3,X_4\}}\)
proponowany model liniowy ma postać: \(\displaystyle{ Y=\alpha_1+\alpha_2X_2+\alpha_3 X_3+ \alpha_4X_4}\)