Słabe prawa wielkich liczb

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Słabe prawa wielkich liczb

Post autor: Emiel Regis » 14 lut 2008, o 20:37

Zbieżność wg prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ X_n \stackrel{P} {\longrightarrow} X \iff \bigwedge_{\varepsilon >0} P(|X_n-X| > \varepsilon) \stackrel{n \to \infty} {\longrightarrow} 0}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
Słabe prawo wielkich liczb (SPWL)

Dla ciągu zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)}\) zachodzi SPWL gdy istnieje ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (c_n)}\) taki, że zachodzi zbieżność:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - c_n \stackrel{P} {\longrightarrow} 0}\)

Widzimy więc, że prawa wielkich liczb mówią nam o zachowaniu się średnich arytmetycznych zmiennych losowych.
Gdy posiadamy dodatkowe informacje o ciągu \(\displaystyle{ (X_n)}\) to potrafimy wskazać ciąg \(\displaystyle{ (c_n)}\), dla którego zbieżność zachodzi [bądź nie], mówią nam o tym m.in. poniższe szczególne przypadki powyższego sformułowania.


\(\displaystyle{ \hline}\)
Słabe prawo wielkich liczb Czebyszewa
Założenia:

\(\displaystyle{ (X_n)}\) - ciąg niezależnych zmiennych losowych

\(\displaystyle{ EX_i=m_i \\ \\ Var(X_i)=\sigma_i^2}\)

Teza:

Dla \(\displaystyle{ (X_n)}\)zachodzi SPWL z ciągiem:

\(\displaystyle{ c_n= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n m_i}\)
Dowód:    

Wnioskiem z powyższego twierdzenia jest fakt, iż gdy mamy ciąg \(\displaystyle{ (X_n)}\) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie oraz skończonej wariancji to średnia arytmetyczna wyrazów ciągu zbiega do wartości oczekiwanej zmiennych z ciągu.

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \stackrel{P}{\longrightarrow} EX_1}\)

bo:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n Var(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot Var(X_1) = \frac{Var(X_1)}{n} \rightarrow 0}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Założenia:

\(\displaystyle{ (X_n)}\) - ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie zero-jedynkowym tzn.

\(\displaystyle{ P(X_i=1)=p \\ P(X_i=0)=1-p}\)

Teza:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \stackrel{P}{\longrightarrow} p \ \hbox{ gdy } \ n \to \infty}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ