Centralne twierdzenia graniczne

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Centralne twierdzenia graniczne

Post autor: Emiel Regis » 14 lut 2008, o 01:03

Wstęp


Centralne twierdzenia graniczne mówią nam w ogólności o tym, że [niektóre] odpowiednio ustandaryzowane sumy zmiennych losowych zbiegają wg rozkładu do zmiennej o standardowym rozkładzie normalnym. W zależności od tego ile wiemy o danym ciągu zmiennych losowych to możemy [bądź nie] zastosować jedno z nich.

Gdy \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)}\) to aby ustandaryzować zmienną X należy od niej odjąć wartość oczekiwaną oraz całość podzielić przez odchylenie standardowe. Czyli:

\(\displaystyle{ Y=\frac{X-m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

Taka sama idea jest przy standaryzowaniu sum zmiennych losowych, wtedy całą sumę się traktuje jako jedną zmienną losową.

Twierdzenie Lindeberga - Levy'ego

Założenia:

\(\displaystyle{ X_1, X_2, ... \hbox{ - niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie}\\ \\
EX_1=m \\ \\
Var(X_1)= \sigma^2 < \infty}\)


Teza:

\(\displaystyle{ \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-E( \sum \limits_{i=1}^{n}X_i)}{ \sqrt{Var( \sum \limits_{i=1}^{n}X_i)}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}EX_i}{ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{n}Var(X_i)}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-nm}{ \sqrt{n \sigma^2}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

Twierdzenie de Moivre'a - Laplace'a

Jest to szczególny przypadek powyższego twierdzenia gdy zmienne losowe mają rozkłady zero-jedynkowe.

Założenia:

\(\displaystyle{ X_n \sim B(n,p)}\)

Teza:

\(\displaystyle{ \frac{X_n - np}{ \sqrt{np(1-p)}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

Może ktoś spytać gdzie tutaj suma zmiennych losowych, otóż zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym daje się rozpisać jako suma zmiennych o rozkładach zero-jedynkowych.

\(\displaystyle{ X_n \stackrel{d}{=} \sum_{i=1}^n Y_i \\ \\
P(Y_i=1)=p \\ \\
P(Y_i=0)=1-p\\ \\
\hbox{oraz } Y_1, \ldots, Y_n \hbox{ - niezależne.}}\)


Twierdzenie Lapunowa

Założenia:

\(\displaystyle{ X_1, X_2, ... \hbox{ - niezależne zmienne losowe}\\ \\
EX_i=m_i \\ \\
Var (X_i)= \sigma_i^2 \\ \\
E|X_i-m_i|^3 = \beta_i < \infty \\ \\
\left[ \sum_{i=1}^n \beta_i \right]^{ \frac{1}{3}} = o \left[ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right]^{ \frac{1}{2}}}\)


Teza:

\(\displaystyle{ \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-E( \sum \limits_{i=1}^{n}X_i)}{ \sqrt{Var( \sum \limits_{i=1}^{n}X_i)}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}EX_i}{ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{n}Var(X_i)}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}m_i}{ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{n} \sigma_i^2}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

Twierdzenie Lindeberga

Jako jedno z ogólniejszych twierdzeń granicznych przedstawię jeszcze twierdzenie Lindeberga, uogólnia ono twierdzenie Lindeberga - Levy'ego na zmienne losowe o różnych rozkładach, jednak ceną za ogólność jest nieprzyjemny do sprawdzania warunek Lindeberga.

Założenia:

\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots \hbox{ - niezależne zmienne losowe}}\)

\(\displaystyle{ EX_i=m_i}\)

\(\displaystyle{ Var(X_i) = \sigma_i^2}\)

\(\displaystyle{ C_n = \left [ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right]^ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ A_\varepsilon= \{ \omega: |X_i-m_i| \geqslant \varepsilon \cdot C_n \}}\)

\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{C_n^2} \sum_{i=1}^n \int_{A_\varepsilon} (X_i -m_i)^2 dP =0}\) - warunek Lindeberga

Teza:

\(\displaystyle{ \frac{ \sum \limits_{i=1}^n(X_i-m_i)}{C_n} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)}\)

ODPOWIEDZ