Lematy Borela - Cantelliego

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Lematy Borela - Cantelliego

Post autor: Emiel Regis » 13 lut 2008, o 23:05

Rozpocznę swój wywód od pewnej ciekawostki, otóż...

Interesującą informacją jest fakt, iż z drugiego lematu Borela - Cantelliego wynika, że gdyby małpa potrafiła wciskać całkowicie losowo klawisze klawiatury oraz robiła to nieskończenie wiele razy to z prawdopodobieństwem 1 napisze ona w ten sposób Hamleta (i to nieskończenie wiele razy!). Dowód pozostawiam czytelnikowi.
O twierdzeniu, które pozwala wysnuwać tak śmiałe wnioski poniżej... Mile widziana znajomość analizy oraz rachunku prawdopodobieństwa na odpowiednim poziomie.


\(\displaystyle{ \hline}\)
Definicje granic ciągów zdarzeń

1. Granica górna

\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} A_n:=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \geqslant n} A_k = \{\omega: \bigwedge_{n \in \mathbb{N}} \bigvee_{k \geqslant n} \omega \in A_k\}}\)

Intuicyjnie rzecz ujmując granica górna ciągu zdarzeń jest to zbiór omeg należących do nieskończenie wielu \(\displaystyle{ A_n}\).


2. Granica dolna

\(\displaystyle{ \liminf_{n \to \infty} A_n:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{k \geqslant n} A_k = \{\omega: \bigvee_{n \in \mathbb{N}} \bigwedge_{k \geqslant n} \omega \in A_k\}}\)

Intuicyjnie rzecz ujmując granica dolna ciągu zdarzeń jest to zbiór omeg należących do prawie wszystkich \(\displaystyle{ A_n}\).


\(\displaystyle{ \hline}\)
Lematy Borela - Cantelliego

1. Pierwszy lemat Borela - Cantelliego

Założenia:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)<\infty}\)

Teza:

\(\displaystyle{ P(\limsup_{n \to \infty} A_n)=0}\)

Czyli prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu zdarzeń \(\displaystyle{ A_n}\) wynosi 0.
Dowód:    

2. Drugi lemat Borela - Cantelliego

Założenia:

\(\displaystyle{ (A_n)}\) - ciąg niezależnych zdarzeń

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\infty}\)

Teza:

\(\displaystyle{ P(\limsup_{n \to \infty} A_n)=1}\)

Czyli prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu zdarzeń \(\displaystyle{ A_n}\) wynosi 1.
Dowód:    

\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ