Definicja oraz własności prawdopodobieństwa

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Definicja oraz własności prawdopodobieństwa

Post autor: Emiel Regis » 13 lut 2008, o 19:50

Definicja


\(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},P) \hbox{ - przestrzeń mierzalna}}\)

\(\displaystyle{ A \in F}\)

\(\displaystyle{ P:\mathcal{F} \to R}\)

A1. \(\displaystyle{ P(A) \in [0,1]}\)

A2. \(\displaystyle{ P(\Omega)=1}\)

A3. \(\displaystyle{ P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)}\) dla rozłącznych \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots}\)

Funkcję \(\displaystyle{ P}\) spełniającą powyższe aksjomaty nazywamy prawdopodobieństwem.


\(\displaystyle{ \hline}\)
Własności

W poniższych własnościach zakładam wszędzie: \(\displaystyle{ A, B, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}}\)

W1.

\(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow P(B \backslash A) = P(B)-P(A)}\)
Dowód:    
Natychmiastowym wnioskiem z tej własności jest kolejna, mianowicie:


W2. Monotoniczność

\(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow P(A) \leqslant P(B)}\)
Dowód:    

W3.

\(\displaystyle{ P(A)+P(A')=1}\)
Dowód:    

W4.

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)
Dowód:    

W5. Wzór włączeń i wyłączeń

\(\displaystyle{ P(\bigcup_{n=1}^n A_n)=\sum_i P(A_n) - \sum_{i<j}P(A_i \cap A_j) + \sum_{i<j<k}P(A_i \cap A_j \cap A_k) + \ldots + (-1)^{n+1}P(A_1 \cap \ldots \cap A_n)}\)
Dowód:    

W6. Skończona subaddytywność

\(\displaystyle{ P(\bigcup_{k=1}^{n}A_k) \leqslant \sum_{k=1}^{n}P(A_k)}\)
Dowód:    

W7. Ciągłość z dołu

Założenia:
\(\displaystyle{ (A_n): A_n \uparrow A \hbox{ tzn. } A_n \subset A_{n+1} \wedge A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}\)

Teza:

\(\displaystyle{ P(A_n) \rightarrow P(A)}\)
Dowód:    

W8. Ciągłość z góry

Założenia:

\(\displaystyle{ (A_n): A_n \downarrow A \hbox{ tzn. } A_{n+1} \subset A_{n} \wedge A=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n}\)

Teza:

\(\displaystyle{ P(A_n) \rightarrow P(A)}\)
Dowód:    

\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ