Matematyka.pl

1.
\(\displaystyle{ P(\varnothing)=0}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \varnothing \cup A = A \\
P(\varnothing \cup A) = P(A) \\
P(\varnothing) + P(A) = P(A) \hbox{, bo } \varnothing \cap A = \varnothing \\
P(\varnothing) = P(A)-P(A) \\
P(\varnothing) =0}\)
co kończy dowód

2.
\(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ A\cup (B-A)=B \\
P[A\cup (B-A)] =P(B) \\
P(A) + P(B-A)=P(B) \hbox{, bo } A\cap (B-A) = \varnothing \\
P(A) \leq P(B)}\)
co kończy dowód

3.
\(\displaystyle{ \bigwedge_{A \in \Omega} P(A) \leq 1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ A \cup (\Omega-A)=\Omega \\
P[A \cup (\Omega-A)]=P(\Omega) \\
P(A) + P(\Omega-A)=P(\Omega) \hbox{, bo } A\cap (\Omega-A) = \varnothing \\
P(A) + P(\Omega-A)=1 \hbox{, bo } P(\Omega)=1 \\
P(A) \leq 1 \hbox{, bo } P(\Omega-A)\geq 0}\)
co kończy dowód

4.
\(\displaystyle{ P(A)+P(A')=1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ A\cup A'=\Omega \\
P(A\cup A')=P(\Omega) \\
P(A) + P(A')=P(\Omega) \hbox{, bo } A \cap A' = \varnothing \\
P(A)+P(A')=1 \hbox{, bo } P(\Omega)=1}\)
co kończy dowód

5.
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ A\cup B=A\cup(B-A) \\
P(A\cup B)=P[A\cup(B-A)] \\
P(A\cup B)=P(A) + P(B-A) \hbox{, bo } A\cap(B-A)=\varnothing \\
1^* \ \ P(B-A)=P(A\cup B)-P(A) \\
(B-A)\cup (A\cap B) = B \\
P[(B-A)\cup (A\cap B)] = P(B) \\
P(B-A) + P(A\cap B)=P(B) \hbox{, bo } (B-A)\cap (A\cap B)=\varnothing \\
2^* \ \ P(B-A) = P(B) - P(A\cap B) \\
1^* = 2^* \\
P(A\cup B)-P(A)=P(B) - P(A\cap B) \\
P(A\cup B)=P(A)+P(B) - P(A\cap B)}\)
co kończy dowód

Wszelkie zastrzeżenia, sugestie, prośby - proszę kierować na