Przedział ufności dla wariancji
Przyjmujemy poziom ufności 1 - \(\displaystyle{ \alpha}\)
Schemat rozwiązywania zadań:
- Czy \(\displaystyle{ n \leq 30}\)?
TAK ---> Model I
NIE ---> Model II
Model I
Populacja generalna ma rozkład normanly \(\displaystyle{ N(m, \sigma)}\). Wartość średnia m oraz odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma}\) w populacji są nieznane. Wybrano małą próbę o liczebności \(\displaystyle{ n \leq 30}\) . Wtedy przedział ufności dla wariancji ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{ns^2}{c_2}< \sigma^2 < \frac{ns^2}{c_1}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ s^2}\) - wariancja z próby,
\(\displaystyle{ c_1, \ c_2}\) - wartość zmiennej losowej odczytana z tablic rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) dla r=n-1 stopni swobody, spełniające warunki:
\(\displaystyle{ \chi^2(c_1)=1- \frac{ \alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ \chi^2(c_2)= \frac{ \alpha}{2}}\)
zobacz część 1 oraz część 2 tablic rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) (warunki mogą się różnić, w zależności od stosowanych tablic).\(\displaystyle{ \chi^2(c_2)= \frac{ \alpha}{2}}\)
UWAGA
Przedział ufności dla \(\displaystyle{ \sigma}\) otrzymamy po spierwiastkowaniu końców powyższego przedziału.
Model II
Populacja generalna ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego o nieznanych parametrach m oraz \(\displaystyle{ \sigma}\). Wybrano dużą próbę o liczebności \(\displaystyle{ n > 30}\). Wtedy przedział ufności dla odchylenia standardowego ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{s}{1+ \frac{u_{ \alpha}}{ \sqrt{2n}}}< \sigma <\frac{s}{1- \frac{u_{ \alpha}}{ \sqrt{2n}}}}\)
gdzie\(\displaystyle{ s}\) - odchylenie standardowe z próby,
\(\displaystyle{ u_{ \alpha}}\) - wartość zmiennej losowej odczytana z tablic rozkładu normalnego standardowego N(0,1), spełniająca warunek:
\(\displaystyle{ \Phi(u_{ \alpha})=1- \frac{ \alpha}{2}}\)
zobacz [url=http://www.matematyka.pl/images/abrasax/rozklad_normalny.gif]tablicę rozkładu normalnego[/url] (warunek może się różnić, w zależności od stosowanych tablic).Opracowano na podstawie: Jerzy Greń "Statystyka matematyczna. Modele i zadania"