Przedział ufności dla średniej

[abrasax]

Przedział ufności dla średniej

Przyjmujemy poziom ufności 1 - \(\displaystyle{ \alpha}\)

Schemat rozwiązywania zadań:

1. Czy \(\displaystyle{ \sigma}\)jest podane?
   TAK ---> Model I
   NIE ---> punkt 2
2. Czy \(\displaystyle{ n \leq 30}\)?
   TAK ---> Model II
   NIE ---> Model III

Model I
Populacja generalna ma rozkład normanly \(\displaystyle{ N(m, \sigma)}\). Wartość średnia m jest nieznana, odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma}\) w populacji jest znane. Wybrano próbę o liczebności n. Wtedy przedział ufności dla średniej ma postać:

\(\displaystyle{ \overline{x}-u_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<m<\overline{x}+u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)

gdzie
\(\displaystyle{ u_{\alpha}}\) - wartość zmiennej losowej odczytana z tablic rozkładu normalnego standardowego N(0,1), spełniająca warunek:

\(\displaystyle{ \Phi(u_{\alpha})=1-\frac{\alpha}{2}}\)

zobacz tablicę rozkładu normalnego (warunek może się różnić, w zależności od stosowanych tablic).


Model II
Populacja generalna ma rozkład normanly \(\displaystyle{ N(m, \sigma)}\). Wartość średnia m oraz odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma}\) w populacji są nieznane. Wybrano małą próbę o liczebności n \(\displaystyle{ \leq 30}\) . Wtedy przedział ufności dla średniej ma postać:

\(\displaystyle{ \overline{x}-t_{\alpha} \frac{s}{\sqrt{n-1}}<m<\overline{x}+t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n-1}}}\)

gdzie
s - odchylenie standardowe z próby,
\(\displaystyle{ t_{ \alpha}}\) - wartość zmiennej losowej odczytana z tablic rozkładu t-Studenta dla r=n-1 stopni swobody, spełniająca warunek:

\(\displaystyle{ S(t_{ \alpha})= \alpha}\)

zobacz tablicę rozkładu t-Studenta (warunek może się różnić, w zależności od stosowanych tablic).


Model III
Populacja generalna ma rozkład dowolny. Wartość średnia m oraz odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma}\) w populacji są nieznane. Wybrano dużą próbę o liczebności \(\displaystyle{ n > 30}\) . Wtedy przedział ufności dla średniej ma postać:

\(\displaystyle{ \overline{x}-u_{\alpha} \frac{s}{\sqrt{n}}<m<\overline{x}+u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}}\)

gdzie
\(\displaystyle{ u_{ \alpha}}\) - wartość zmiennej losowej odczytana z tablic rozkładu normalnego standardowego N(0,1), spełniająca warunek:

\(\displaystyle{ \Phi(u_{ \alpha})=1- \frac{ \alpha}{2}}\)

zobacz [url=http://www.matematyka.pl/images/abrasax/rozklad_normalny.gif]tablicę rozkładu normalnego[/url] (warunek może się różnić, w zależności od stosowanych tablic).


Opracowano na podstawie: Jerzy Greń "Statystyka matematyczna. Modele i zadania"

_________________
Rozwiązywanie zadań drogą mailową- statystyka, ekonometria, badania operacyjne, analiza matematyczna. Zobacz ogłoszenie. Zapraszam również do Kompendium Urny.
Opracowano na podstawie: Jerzy Greń "Statystyka matematyczna. Modele i zadania"