Matematyka.pl

1. Definicja
Wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) zapisujemy jako \(\displaystyle{ {\rm Var}X}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{D}^2(x)}\) i definiujemy wzorem:

\(\displaystyle{ {\rm Var} X=\EE(X-\mu)^2=\EE(X-\EE X)^2}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \EE(\cdot)}\) jest funkcją znajdującą wartość oczekiwaną, zaś \(\displaystyle{ \mu=\EE X}\) wartością oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ X}\).



2. Własności
W dowodzeniu poniższych własności będę korzystał z własności wartości oczekiwanej. A dokładnie z:
a) liniowości, tj. \(\displaystyle{ \EE(aX+B)=a\EE X+b}\),
b) niezmienności na stałe, tj. jeżeli \(\displaystyle{ c}\) jest stała to \(\displaystyle{ \EE c=c}\)
c) nieujemnej określoności dla prawie wszędzie nieujemnych zmiennych losowych, tj. \(\displaystyle{ X\geq 0\ p.w.\Rightarrow {\rm Var} X\geq 0}\) 1. Wzór na wariancję stosowany zamiennie
\(\displaystyle{ {\rm Var} X=\EE X^2-(\EE X)^2}\).

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var} X=\EE(X-\mu)^2=\EE(X^2-2X\mu+\mu^2)=\EE X^2-2\mu \EE X+\EE\mu^2=...}\)
z tego, że \(\displaystyle{ \mu=\EE X}\) mamy:
\(\displaystyle{ \EE X^2-2(\EE X)^2+(\EE X)^2=\EE X^2-(\EE X)^2\ \blacksquare}\) 2. Zerowa wariancja stałej
\(\displaystyle{ {\rm Var} C=0}\)

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var} C=\EE(C-\EE C)^2=\EE (C-C)^2=\EE(0^2)=\EE 0=0\ \blacksquare}\) 3. Nieujemna określoność wariancji.
\(\displaystyle{ {\rm Var} X\geq 0}\)

Dowód
Ponieważ zmienna losowa \(\displaystyle{ (X-\mu)^2}\) jest nieujemna, to jej wartość oczekiwana \(\displaystyle{ \EE(X-\mu)^2={\rm Var} X}\) jest nieujemna. \(\displaystyle{ \blacksquare}\) 4. Kwadratowa wrażliwość na mnożenie przez stałą
\(\displaystyle{ {\rm Var} (aX)=a^2{\rm Var} X}\)

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var} (aX)=\EE(aX-\EE(aX))^2=\EE(aX-a\EE X)^2=\EE(a(X-\EE X))^2=}\)
\(\displaystyle{ =\EE[a^2(X-\EE X)^2]=a^2{\rm Var} X \blacksquare}\) 5. Niewrażliwość na dodawanie stałej
\(\displaystyle{ {\rm Var}(X+b)={\rm Var} X}\)

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var}(X+b)=\EE(X+b-\EE(X+b))^2=\EE(X+b-\EE X-\EE b)^2=}\)
\(\displaystyle{ =\EE(X+b-\EE X-b)^2=\EE(X-\EE X)^2={\rm Var}X\ \blacksquare}\) 6. Suma wariancji
\(\displaystyle{ {\rm Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}{\rm Var}X_i + 2\sum_{i<j}{\rm Cov}(X_i,X_j)}\)

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)={\rm Var}(X_1+...X_n)=\EE(X_1+...X_n-\EE(X_1+...X_n))^2=}\)

\(\displaystyle{ =\EE[(X_1-\EE X_1)+(X_2-\EE X_2)+...(X_n-\EE X_n)]^2=}\)

\(\displaystyle{ E\left[(X_1-\EE X_1)^2+(X_2-\EE X_2)^2+...+(X_n-\EE X_n)^2+2\sum_{i<j}(X_i-\EE X_i)(X_j-\EE X_j)\right]=}\)

\(\displaystyle{ E(X_1-\EE X_1)^2+...+\EE(X_n-\EE X_n)^2+2\sum_{i<j}\EE(X_i-\EE X_i)(X_j-\EE X_j)=}\)

\(\displaystyle{ ={\rm Var}X_1+...+{\rm Var}X_n+2\sum_{i<j}{\rm Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^n VarX_i+2\sum_{i<j}Cov(X_i,X_j)\ \blacksquare}\)

Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli wszystkie zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są parami niezależne to zachodzi:

\(\displaystyle{ {\rm Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}{\rm Var}X_i}\)

gdyż kowariancje się zerują.