Wariancja zmiennej losowej i jej własności.

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
mlody3k
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 1 mar 2012, o 01:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 3city
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 24 razy

Wariancja zmiennej losowej i jej własności.

Post autor: mlody3k » 1 sty 2013, o 16:40

Wariancja zmiennej losowej i jej własności
Wariancja jest klasyczną miarą zmienności definiowaną jako średnia kwadratów odchyleń wartości cechy od wartości oczekiwanej. Wariancję zmiennej losowej możemy utożsamiać ze stopniem rozproszenia danych wokół wartości średniej.
Stąd wariancja stałej zmiennej losowej wynosi \(\displaystyle{ 0}\) (patrz: własność druga), ze względu na to, iż przyjmuje stale, z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) jedną wartość, która jest też jej wartością średnią - nie ma "rozproszenia" wokół wartości średniej.
Własność czwartą wariancji możemy utożsamiać z oddalaniem się od tarczy z rzutkami. Rozproszenie wyników wokół wartości oczekiwanej (środka tarczy) rośnie kwadratowo wraz z oddalaniem się od tarczy.
\(\displaystyle{ \hline}\)
1. Definicja
Wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) zapisujemy jako \(\displaystyle{ {\rm Var}X}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{D}^2(x)}\) i definiujemy wzorem:

\(\displaystyle{ {\rm Var} X=\EE(X-\mu)^2=\EE(X-\EE X)^2}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \EE(\cdot)}\) jest funkcją znajdującą wartość oczekiwaną, zaś \(\displaystyle{ \mu=\EE X}\) wartością oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ \hline}\)
2. Własności
W dowodzeniu poniższych własności będę korzystał z własności wartości oczekiwanej. A dokładnie z:
a) liniowości, tj. \(\displaystyle{ \EE(aX+B)=a\EE X+b}\),
b) niezmienności na stałe, tj. jeżeli \(\displaystyle{ c}\) jest stała to \(\displaystyle{ \EE c=c}\)
c) nieujemnej określoności dla prawie wszędzie nieujemnych zmiennych losowych, tj. \(\displaystyle{ X\geq 0\ p.w.\Rightarrow {\rm Var} X\geq 0}\)
***
1. Wzór na wariancję stosowany zamiennie
\(\displaystyle{ {\rm Var} X=\EE X^2-(\EE X)^2}\).

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var} X=\EE(X-\mu)^2=\EE(X^2-2X\mu+\mu^2)=\EE X^2-2\mu \EE X+\EE\mu^2=...}\)
z tego, że \(\displaystyle{ \mu=\EE X}\) mamy:
\(\displaystyle{ \EE X^2-2(\EE X)^2+(\EE X)^2=\EE X^2-(\EE X)^2\ \blacksquare}\)
***
2. Zerowa wariancja stałej
\(\displaystyle{ {\rm Var} C=0}\)

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var} C=\EE(C-\EE C)^2=\EE (C-C)^2=\EE(0^2)=\EE 0=0\ \blacksquare}\)
***
3. Nieujemna określoność wariancji.
\(\displaystyle{ {\rm Var} X\geq 0}\)

Dowód
Ponieważ zmienna losowa \(\displaystyle{ (X-\mu)^2}\) jest nieujemna, to jej wartość oczekiwana \(\displaystyle{ \EE(X-\mu)^2={\rm Var} X}\) jest nieujemna. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)
***
4. Kwadratowa wrażliwość na mnożenie przez stałą
\(\displaystyle{ {\rm Var} (aX)=a^2{\rm Var} X}\)

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var} (aX)=\EE(aX-\EE(aX))^2=\EE(aX-a\EE X)^2=\EE(a(X-\EE X))^2=}\)
\(\displaystyle{ =\EE[a^2(X-\EE X)^2]=a^2{\rm Var} X \blacksquare}\)
***
5. Niewrażliwość na dodawanie stałej
\(\displaystyle{ {\rm Var}(X+b)={\rm Var} X}\)

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var}(X+b)=\EE(X+b-\EE(X+b))^2=\EE(X+b-\EE X-\EE b)^2=}\)
\(\displaystyle{ =\EE(X+b-\EE X-b)^2=\EE(X-\EE X)^2={\rm Var}X\ \blacksquare}\)
***
6. Suma wariancji
\(\displaystyle{ {\rm Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}{\rm Var}X_i + 2\sum_{i<j}{\rm Cov}(X_i,X_j)}\)

Dowód
\(\displaystyle{ {\rm Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)={\rm Var}(X_1+...X_n)=\EE(X_1+...X_n-\EE(X_1+...X_n))^2=}\)

\(\displaystyle{ =\EE[(X_1-\EE X_1)+(X_2-\EE X_2)+...(X_n-\EE X_n)]^2=}\)

\(\displaystyle{ E\left[(X_1-\EE X_1)^2+(X_2-\EE X_2)^2+...+(X_n-\EE X_n)^2+2\sum_{i<j}(X_i-\EE X_i)(X_j-\EE X_j)\right]=}\)

\(\displaystyle{ E(X_1-\EE X_1)^2+...+\EE(X_n-\EE X_n)^2+2\sum_{i<j}\EE(X_i-\EE X_i)(X_j-\EE X_j)=}\)

\(\displaystyle{ ={\rm Var}X_1+...+{\rm Var}X_n+2\sum_{i<j}{\rm Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^n VarX_i+2\sum_{i<j}Cov(X_i,X_j)\ \blacksquare}\)

Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli wszystkie zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są parami niezależne to zachodzi:

\(\displaystyle{ {\rm Var}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}{\rm Var}X_i}\)

gdyż kowariancje się zerują.
Ostatnio zmieniony 27 lut 2013, o 12:21 przez mlody3k, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ