Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym

Post autor: szw1710 » 11 mar 2012, o 21:04

Niech \(X\) będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym \(N(m,\sigma)\) z wartością średnią \(m\) i odchyleniem standardowym \(\sigma\). Wtedy zmienna losowa
\(U=\frac{X-m}{\sigma}\)
ma standardowy rozkład normalny \(N(0,1)\). Oznaczmy jego dystrybuantę przez \(\Phi\). Jest ona stablicowana. Zachodzi też wzór \(\Phi(-u)=1-\Phi(u)\).

Zachodzą następujące wzory:
  1. \(P(X<a)=P\left(\dfrac{X-m}{\sigma}<\dfrac{a-m}{\sigma}\right)=\Phi\left(\dfrac{a-m}{\sigma}\right)\)
  2. \(P(X\ge b)=1-P(X<b)=1-\Phi\left(\dfrac{b-m}{\sigma}\right)=\Phi\left(-\dfrac{b-m}{\sigma}\right)\)
  3. \(P(a\le X< b)=\Phi\left(\dfrac{b-m}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{a-m}{\sigma}\right)\)
Wszystkie występujące powyżej nierówności można dowolnie zamieniać na silne bądź słabe, wedle potrzeb.

Przykład. W pewnym kinie frekwencja na seansie filmowym ma rozkład normalny z wartością średnią \(120\) widzów i odchyleniem standardowym \(40\) widzów. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń a) na seans przyjdzie co najwyżej \(100\) widzów, b) na seans przyjdzie co najmniej \(180\) widzów, c) liczba widzów na seansie leży pomiędzy \(80\) a \(150\).

Niech \(X\) oznacza liczbę widzów na seansie. Zmienna losowa \(X\) ma rozkład \(N(120,40)\), a więc \(m=120\), \(\sigma=40\).

ad a)

\(P(X\le 100)=\Phi\left(\frac{100-120}{40}\right)=\Phi(-0.5)=1-\Phi(0.5)=1-0.6915=0.3085\)


ad b)

\(P(X\ge 180)=1-\Phi\left(\frac{180-120}{40}\right)=1-\Phi(1.5)=1-0.9332=0.0668\)


ad c)

\(\begin{aligned} P(80\le X\le 150)&=\Phi\left(\frac{150-120}{40}\right)-\Phi\left(\frac{80-120}{40}\right)=\\ &=\Phi(0.75)-\Phi(-1)=\Phi(0.75)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=\\ &=0.7734-\bigl(1-0.8413\bigr)=0.7734-0.1587=0.6147 \end{aligned}\)

ODPOWIEDZ