Z populacji o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(\mu ;1,2)}\) pobrano 49-elementową próbę. Obliczona średnia wynosiła \(\displaystyle{ \bar{x}= 7,2}\). Na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) zweryfikuj hipotezę, że wartość oczekiwana wynosi 7.
Zastosuję pierwszą hipotezę alternatywą.
Dane: \(\displaystyle{ \sigma = 1,2 \\
n = 49 \\
\bar{x} = 7,2 \\
\alpha = 0,05 \\
\mu_0 = 7}\)
Z odczytuję kwantyl dla \(\displaystyle{ \Phi=0,975}\). Obszar krytyczny: \(\displaystyle{ (-\infty ; -1,96) \cup (1,96; +\infty )}\)
Obliczam wartość statystyki testowej: \(\displaystyle{ Z = \frac{7,2 - 7}{1,2} \sqrt{49} \approx 1,17}\)
Ponieważ wartość statystyki testowej nie należy do obszaru krytycznego, nie możemy odrzucić hipotezy zerowej. Kod programu R:
sigma <- 1.2
n <- 49
srednia <- 7.2
alfa <- 0.05
m0 <- 7
kwantyl <- qnorm(1-alfa/2)
Z <- (srednia - m0)/sigma*sqrt(n)
kwantyl
Z
ifelse(-kwantyl<Z & Z<kwantyl,'nie ma podstaw do odrzucenia H0','odrzucamy H0 na korzysc H1')
Przykład 1.2
Ukryta treść:
IQ studentów jest zmienną losową o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(\mu ;10)}\). Zbadano iloraz inteligencji w pewnej próbce otrzymując następujące wyniki: 113, 120, 134, 121, 103, 94, 98, 142, 110, 121, 117, 92, 91. Na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha=0,08}\) zweryfikuj hipotezę, że IQ studentów wynosi ponad 105.
Zastosuję drugą hipotezę alternatywą.
Dane: \(\displaystyle{ \sigma = 10 \\
n = 13 \\
\bar{x} = 113 \\
\alpha = 0,08 \\
\mu_0 = 105}\)
Z odczytuję kwantyl dla \(\displaystyle{ \Phi=0,92}\). Obszar krytyczny: \(\displaystyle{ (1,41; +\infty )}\)
Obliczam wartość statystyki testowej: \(\displaystyle{ Z = \frac{113 - 105}{10} \sqrt{13} \approx 2,52}\)
Ponieważ wartość statystyki testowej należy do obszaru krytycznego, możemy odrzucić hipotezę zerową. Kod programu R:
Wiadomo, że wartość ciśnienia krwi w mm Hg u osób starszych jest zmienną losową o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(\mu ; \sigma )}\). Wybrano losowo 25 osób starszych i otrzymano następujące wyniki pomiarów ciśnienia: \(\displaystyle{ \bar{x}=155, \ s=5}\). Czy na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) można twierdzić, że średni poziom ciśnienia u starszych osób wynosi 160?
Zastosuję pierwszą hipotezę alternatywą.
Dane: \(\displaystyle{ n = 25 \\
\bar{x} = 155 \\
s = 5 \\
\alpha = 0,05 \\
\mu_0 = 160}\)
Z [url=http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_t-Studenta]tablicy rozkładu t-Studenta[/url] odczytuję kwantyl dla \(\displaystyle{ t^{24}_{0,975}}\). Obszar krytyczny: \(\displaystyle{ (-\infty ; -2,06) \cup (2,06; +\infty )}\)
Obliczam wartość statystyki testowej: \(\displaystyle{ T = \frac{155 - 160}{5} \sqrt{25} =-5}\)
Ponieważ wartość statystyki testowej należy do obszaru krytycznego, możemy odrzucić hipotezę zerową. Kod programu R:
n <- 25
srednia <- 155
odchylenie <- 5
alfa <- 0.05
m0 <- 160
kwantyl <- qt(1-alfa/2,n-1)
T <- (srednia - m0)/odchylenie*sqrt(n)
kwantyl
T
ifelse(-kwantyl<T & T<kwantyl,'nie ma podstaw do odrzucenia H0','odrzucamy H0 na korzysc H1')
Przykład 2.2
Ukryta treść:
Można przyjąć, że wzrost osobników danej płci w populacji ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(\mu ; \sigma )}\). Z przeprowadzonych w przeszłości badać wiadomo, że średni wzrost chłopców w wieku 14 lat wynosi 154cm. Przypuszcza się, że w wyniku polepszenia warunków życia nastąpiło zwiększenie średniego wzrostu.
Pobrano próbę o liczebności 32 i otrzymano średnią w próbie 158cm, odchylenie standardowe 12cm. Sprawdź hipotezę na poziomie ufności 94%.
Zastosuję drugą hipotezę alternatywą.
Dane: \(\displaystyle{ n = 32 \\
\bar{x} = 158 \\
s = 12 \\
\alpha = 0,06 \\
\mu_0 = 154}\)
Z [url=http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_t-Studenta]tablicy rozkładu t-Studenta[/url] odczytuję kwantyl dla \(\displaystyle{ t^{31}_{0,94}}\). Obszar krytyczny: \(\displaystyle{ (1,60; +\infty )}\)
Obliczam wartość statystyki testowej: \(\displaystyle{ T = \frac{158 - 154}{12} \sqrt{32} \approx 2,83}\)
Ponieważ wartość statystyki testowej należy do obszaru krytycznego, możemy odrzucić hipotezę zerową. Kod programu R:
Staż pracy Liczba pracowników
0 - 5 30
5 - 10 63
10 - 15 82
15 - 20 31
20 - 25 13
Zweryfikuj hipotezę, że średni staż pracy w tej firmie jest krótszy niż 12 lat.
Zastosuję trzecią hipotezę alternatywą. Do obliczeń średniej oraz odchylenia standardowego zastosuję środki przedziałów. Przyjmuję poziom ufności 5%.
Dane: \(\displaystyle{ n = 219 \\
\bar{x} \approx 11 \\
s \approx 5,31 \\
\alpha = 0,05 \\
\mu_0 = 12}\)
Z [url=http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_normalnego]tablicy rozkładu normalnego[/url] odczytuję kwantyl dla \(\displaystyle{ \Phi=0,95}\). Obszar krytyczny: \(\displaystyle{ (-\infty ; -1,64)}\)
Obliczam wartość statystyki testowej: \(\displaystyle{ Z = \frac{11 - 12}{5,31} \sqrt{219} \approx -2,80}\)
Ponieważ wartość statystyki testowej należy do obszaru krytycznego, możemy odrzucić hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej. Kod programu R: