Liczba punktów wspólnych z okręgiem

[mistrzdelty]

Potrzebuję pomocy!

Ile punktów wspólnych w zależności od parametru \(\displaystyle{ m}\) ma prosta \(\displaystyle{ 3x+4y+2= 0}\) z okręgiem o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} + 4y= m}\). Wiem , że trzeba zrobić układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+4y+2=0\\x^2+y^2+4y=m\end{cases}}\)


Jak to rozwiązać?

[a4karo]

Wystraczy że policzysz odległość środka okręgu od tej prostej i porównasz z jego promieniem

[Niepokonana]

Wiesz, jak znaleźć środek?

[janusz47]

Rozwiązanie zadania ogólnego

Metoda pierwsza (odległości środka okręgu od prostej)

Proszę znaleźć warunek konieczny i dostateczny na to, aby prosta \(\displaystyle{ Ax + By + C = 0 \ \ (1)}\)

a)

przecinała okrąg

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \ \ (2) }\) (miała z nim dwa punkty współne),

b)

nie przecinała okręgu (nie miała z nim punktów wspólnych),

c)

była do niego styczna (miała z nim dokładnie jeden punkt wspólny).

Rozwiązanie

Znajdujemy współrzędne środka \(\displaystyle{ O }\) i promień \(\displaystyle{ r }\) okręgu \(\displaystyle{ (2) }\), sprowadzając równanie ogólne okręgu \(\displaystyle{ (2) }\) do postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + a x+ b y + c = \left[ x^2 + 2\cdot \frac{1}{2}a x + \left(\frac{1}{2} a\right)^2 \right] + \left[ y^2 + 2\cdot \frac{1}{2} by + \left(\frac{1}{2}b\right)^2 \right] - \left(\frac{1}{2} a\right)^2 - \left(\frac{1}{2}b\right)^2 + c = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + a x+ b y + c = \left[ x^2 + 2\cdot \frac{1}{2}a x + \left(\frac{1}{2} a\right)^2 \right] + \left[ y^2 + 2\cdot \frac{1}{2} by + \left(\frac{1}{2}b\right)^2 \right] = \left(\frac{1}{2} a\right)^2 +\left(\frac{1}{2}b\right)^2 - c }\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + a x+ b y + c = \left( x + \frac{1}{2}a \right)^2 + \left( y + \frac{1}{2}b \right)^2 = \left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} a\right)^2 +\left(\frac{1}{2}b\right)^2 + c }\right)^2, \ \ \left(\frac{1}{2} a\right)^2 +\left(\frac{1}{2}b\right)^2 - c > 0. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ O = \left( - \frac{1}{2}a , \ \ -\frac{1}{2}b\right) \ \ (3) }\)

\(\displaystyle{ r = \sqrt{\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}b^2 - c} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} \ \ (4) }\)

Korzystając ze wzoru na odległość punktu \(\displaystyle{ (3) }\) od prostej \(\displaystyle{ (1) }\) i uwzględniając promień okręgu \(\displaystyle{ (4) }\), możemy zapisać warunki a), b), c)

a)

\(\displaystyle{ \frac{\left|A\cdot \left( -\frac{1}{2}a \right) + B \cdot \left( -\frac{1}{2} b \right) + C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}} < \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 -4c}
\ \ (5)}\)

Upraszczając lewą i prawą stronę nierówności \(\displaystyle{ (5) }\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{\left|A\cdot a + B \cdot b - 2C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}} < \sqrt{a^2 + b^2 -4c} \ \ (6)}\)

b)

\(\displaystyle{ \frac{\left|A\cdot a + B \cdot b - 2C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}} > \sqrt{a^2 + b^2 -4c} \ \ (7)}\)

c)

\(\displaystyle{ \frac{\left|A\cdot a + B \cdot b - 2C\right|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sqrt{a^2 + b^2 - 4c} \ \ (8)}\)

Proszę podstawić dane liczbowe: \(\displaystyle{ A = 3, \ \ B= 4 , \ \ C= 2, \ \ a = 0, \ \ b = 4, \ \ c = -m }\) i rozwiązać nierówności \(\displaystyle{ (6), \ \ (7), \ \ (8) }\) w zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ m. }\)

Metoda druga (wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta }\))

Dodano po 1 godzinie 15 minutach 59 sekundach:
Korekta

Trzeci wiersz od góry

jest

\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{1}{2}a\right)^2 + \left(\frac{1}{2}b\right)^2 +c} }\)

powinno być

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(\frac{1}{2}a\right)^2 + \left(\frac{1}{2}b\right)^2 -c}.}\)

Dodano po 3 godzinach 43 minutach 45 sekundach:
Metoda druga (znaku wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta) }\)

Rozwiązujemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 +4y -m = 0 \\ 3x +4y +2 = 0 \end{cases} }\)

Z równania drugiego

\(\displaystyle{ 4y = -3x -2 = -( 3x +2), \ \ y = \frac{-(3x +2)}{4} \ \ (1) }\)

Podstawiamy równania \(\displaystyle{ (1) }\) do równania pierwszego

\(\displaystyle{ x^2 + \left( \frac{-(3x +2)}{4}\right)^2 -(3x +2) -m = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^2 + \frac{(3x +2)^2}{16} - (3x +2) - m = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^2 + \frac{ 9x^2 +12x + 4}{16} - 3x - 2 - m = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^2 + \frac{9}{16x^2} +\frac{12}{16}x + \frac{4}{16} - 3x -2 - m = 0 }\)

\(\displaystyle{ \frac{25}{16} x^2 + \frac{3}{4} x + \frac{1}{4} -3x - 2 -m = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{25}{16}x^2 - \frac{9}{4}x - \frac{7}{4} - m = 0 }\)

\(\displaystyle{ \Delta = \left( \frac{9}{4}\right)^2 - 4 \cdot \frac{25}{16}\cdot \left( -\frac{7}{4} - m \right) }\)

\(\displaystyle{ \Delta = \frac{81}{16} - \frac{25}{4} \left( -\frac{7}{4} - m \right) }\)

\(\displaystyle{ \Delta = \frac{81}{16} +\frac{175}{16} + \frac{25}{4}m }\)

\(\displaystyle{ \Delta = \frac{256}{16} + \frac{25}{4}m = 16 +\frac{25}{4}m }\)

\(\displaystyle{ \Delta = 0 }\) - układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie, prosta ma dokładnie jeden wspólny punkt z okręgiem wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ 16 + \frac{25}{4}m = 0, \ \ \frac{25}{4}m = -16, \ \ m = -\frac{64}{25} = - 2,56 }\)

\(\displaystyle{ \Delta >0, \ \ m > -2,56 }\) - układ równań posiada dwa rozwiązania, prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.

\(\displaystyle{ \Delta <0, \ \ m < -2,56 }\) - układ równań nie ma rozwiązań, prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem.