Ma ktoś pomysł na te zadania?
1.
Punkty (7,8) i (-1,2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym .
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX.
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokładności o środku w punkcie i skali k = - 2.
2.
Dane są trzy punkty: A = (6; -2), B = (0; 4), C = ( -8; - 4).Wyznacz współrzędne takiego punktu należącego do prostej o równaniu y = - 8, aby na czworokącie ABCD można było opisać okrąg.
3.
Punkt A = ( -2; 1) jest jednym z wierzchołków rombu ABCD, a punkt M = (0; 3) jest środkiem symetrii tego rombu. Pole S rombu jest równe 8. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu. Narysuj rysunek pomocniczy.
4.
Dane są punkty A = (-1; 3), B = (4; -7). Punkt C należy do odcinka AB i dzieli ten odcinek w stosunku 2:3, licząc od punktu A. Oblicz współrzędne punktu C
5.
Punkt A = ( -2; 1) jest jednym z wierzchołków rombu ABCD, a punkt M = (0; 3) jest środkiem symetrii tego rombu. Pole S rombu jest równe 8. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu. Narysuj rysunek pomocniczy.
Kilka zadań
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Kilka zadań
Zad.2
Trzy niewspółliniowe punkty wyznaczają okrąg na płaszczyźnie, więc mając dane trzy wierzchołki czworokąta, można już wyznaczyć równanie okręgu opisanego na tym czworokącie.
Niech szukany okrąg ma równanie \(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\)
Punkty \(\displaystyle{ A=(6,-2),B=(0,4),C=(-8,-4)}\) należą do tego okręgu, zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (6-a)^{2}+(2+b)^{2}=r^{2} \\ a^{2}+(4-b)^{2}=r^{2} \\ (8+a)^{2}+(4+b)^{2}=r^{2} \end{cases}}\)
Odejmujemy trzecie równanie stronami od pierwszego, otrzymując \(\displaystyle{ 7a+b=-10}\).
Odejmujemy drugie równanie stronami od pierwszego, otrzymując \(\displaystyle{ a-b=2}\)
Rozwiązaniem układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7a+b=-10 \\ a-b=2 \end{cases}}\)
są liczby \(\displaystyle{ a=-1,b=-3}\)
Podstawiając otrzymane wartości do któregokolwiek równania ukłądu, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ r=5\sqrt{2}}\)
Równanie szukanego okręgu ma zatem postac:\(\displaystyle{ (x+1)^{2}+(y+3)^{2}=50}\)
Teraz wystarczy znaleźć punkty wspólne tego okręgu z daną prostą, czyli rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^{2}+(y+3)^{2}=50 \\ y=-8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (x+1)^{2}=25}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=4,x_{2}=-6}\)
odp. Czwartym punktem może być albo punkt \(\displaystyle{ (4,-8)}\), albo punkt \(\displaystyle{ (-6,-8)}\)
[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 13:45 ]
Zad. 4
Korzystamy z twierdzenia o stosunku podziału odcinka na płąszczyźnie:
Punkt \(\displaystyle{ M=\left(\frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n},\frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n}\right)}\) dzieli odcinek o końcach \(\displaystyle{ A=(x_{1},y_{1}),B=(x_{2},y_{2})}\) w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\), licząc od końca A.
\(\displaystyle{ C=\left(\frac{-3+2 4}{5},\frac{3 3-2 7}{5}\right)=(-1,-1)}\)
[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 13:46 ]
Mógłbym jeszcze rozwiązać pierwsze, gdyby treść była pełna.
Trzy niewspółliniowe punkty wyznaczają okrąg na płaszczyźnie, więc mając dane trzy wierzchołki czworokąta, można już wyznaczyć równanie okręgu opisanego na tym czworokącie.
Niech szukany okrąg ma równanie \(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\)
Punkty \(\displaystyle{ A=(6,-2),B=(0,4),C=(-8,-4)}\) należą do tego okręgu, zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (6-a)^{2}+(2+b)^{2}=r^{2} \\ a^{2}+(4-b)^{2}=r^{2} \\ (8+a)^{2}+(4+b)^{2}=r^{2} \end{cases}}\)
Odejmujemy trzecie równanie stronami od pierwszego, otrzymując \(\displaystyle{ 7a+b=-10}\).
Odejmujemy drugie równanie stronami od pierwszego, otrzymując \(\displaystyle{ a-b=2}\)
Rozwiązaniem układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7a+b=-10 \\ a-b=2 \end{cases}}\)
są liczby \(\displaystyle{ a=-1,b=-3}\)
Podstawiając otrzymane wartości do któregokolwiek równania ukłądu, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ r=5\sqrt{2}}\)
Równanie szukanego okręgu ma zatem postac:\(\displaystyle{ (x+1)^{2}+(y+3)^{2}=50}\)
Teraz wystarczy znaleźć punkty wspólne tego okręgu z daną prostą, czyli rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^{2}+(y+3)^{2}=50 \\ y=-8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (x+1)^{2}=25}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=4,x_{2}=-6}\)
odp. Czwartym punktem może być albo punkt \(\displaystyle{ (4,-8)}\), albo punkt \(\displaystyle{ (-6,-8)}\)
[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 13:45 ]
Zad. 4
Korzystamy z twierdzenia o stosunku podziału odcinka na płąszczyźnie:
Punkt \(\displaystyle{ M=\left(\frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n},\frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n}\right)}\) dzieli odcinek o końcach \(\displaystyle{ A=(x_{1},y_{1}),B=(x_{2},y_{2})}\) w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\), licząc od końca A.
\(\displaystyle{ C=\left(\frac{-3+2 4}{5},\frac{3 3-2 7}{5}\right)=(-1,-1)}\)
[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 13:46 ]
Mógłbym jeszcze rozwiązać pierwsze, gdyby treść była pełna.
-
ssandraa
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 cze 2008, o 14:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: zabrze
- Podziękował: 3 razy
Kilka zadań
Dzięki.
Nie zauważyłam, że wkleiła się niepełna treść zadania, już poprawiam:
są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym kąt BCA ma miarę 90 stopni
Nie zauważyłam, że wkleiła się niepełna treść zadania, już poprawiam:
są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym kąt BCA ma miarę 90 stopni
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Kilka zadań
Zad. 1a
\(\displaystyle{ A=(7,8)}\)
\(\displaystyle{ B=(-1,2)}\)
Niech \(\displaystyle{ C=(x,y)}\). Wektory \(\displaystyle{ \vec{CA}=[7-x,8-y],\vec{CB}=[-1-x,2-y]}\) tworzą kąt \(\displaystyle{ 90^{o}}\), więc ich iloczyn skalarny jest równy zeru:
\(\displaystyle{ \vec{CA} \circ \vec{CB}=0}\)
\(\displaystyle{ (7-x)(-1-x)+(8-y)(2-y)=0}\)
Wiemy ponadto, że \(\displaystyle{ y=0}\), skąd:
\(\displaystyle{ (7-x)(-1-x)+16=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-6x+9=0}\)
\(\displaystyle{ x=3}\)
Szukanym punktem jest \(\displaystyle{ C=(3,0)}\).
Zad. 1b dalej jest niekompletne. Napisz jeszcze, względem jakiego punktu jest to przekształcenie.
\(\displaystyle{ A=(7,8)}\)
\(\displaystyle{ B=(-1,2)}\)
Niech \(\displaystyle{ C=(x,y)}\). Wektory \(\displaystyle{ \vec{CA}=[7-x,8-y],\vec{CB}=[-1-x,2-y]}\) tworzą kąt \(\displaystyle{ 90^{o}}\), więc ich iloczyn skalarny jest równy zeru:
\(\displaystyle{ \vec{CA} \circ \vec{CB}=0}\)
\(\displaystyle{ (7-x)(-1-x)+(8-y)(2-y)=0}\)
Wiemy ponadto, że \(\displaystyle{ y=0}\), skąd:
\(\displaystyle{ (7-x)(-1-x)+16=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-6x+9=0}\)
\(\displaystyle{ x=3}\)
Szukanym punktem jest \(\displaystyle{ C=(3,0)}\).
Zad. 1b dalej jest niekompletne. Napisz jeszcze, względem jakiego punktu jest to przekształcenie.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Kilka zadań
Powinien
[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 15:44 ]
Zad.1b
Jednokładność o środku \(\displaystyle{ P=(1,0)}\) i skali \(\displaystyle{ k=-2}\) przekształca punkt \(\displaystyle{ A=(x,y)}\) na taki punkt \(\displaystyle{ A'=(x',y')}\), że:
\(\displaystyle{ \vec{PA'}=k\vec{PA}}\)
\(\displaystyle{ [x'-1,y']=-2[x-1,y]}\)
\(\displaystyle{ [x'-1,y']=[-2x+2,-2y]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=-2x+3 \\ y'=-2y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-x'+3}{2} \\ y=-\frac{1}{2}y' \end{cases}}\)
Teraz wystarczy wyznaczyć równanie okręgu ABC (tak jak w zad. 2) i w tym równaniu zamiast x i y podstawić ten drugi zestaw wzorów, a potem opuścić znaki ' .
[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 15:44 ]
Zad.1b
Jednokładność o środku \(\displaystyle{ P=(1,0)}\) i skali \(\displaystyle{ k=-2}\) przekształca punkt \(\displaystyle{ A=(x,y)}\) na taki punkt \(\displaystyle{ A'=(x',y')}\), że:
\(\displaystyle{ \vec{PA'}=k\vec{PA}}\)
\(\displaystyle{ [x'-1,y']=-2[x-1,y]}\)
\(\displaystyle{ [x'-1,y']=[-2x+2,-2y]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=-2x+3 \\ y'=-2y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-x'+3}{2} \\ y=-\frac{1}{2}y' \end{cases}}\)
Teraz wystarczy wyznaczyć równanie okręgu ABC (tak jak w zad. 2) i w tym równaniu zamiast x i y podstawić ten drugi zestaw wzorów, a potem opuścić znaki ' .