Matematyka.pl

1.Napisac rownanie plaszczyzny przechodzacej przez pkt A(-3,-2,0) prostopadlej do plaszczyzn 2x-y-5z+10=0, x+2y-2z+1=0
2.Napisac rownanie plaszczyzny przechodzacej przez pkt A(2,-1,4),B(-1,0,-1) prostopadlej do plaszczyzny x-y+2z-15

1.) Niech szukaną płaszczyzną będzie \(\displaystyle{ Px+Qy+Rz+S=0}\)
Skoro ma być prostopadła do danej płaszczyzny, to wektory normalne tych płaszczyzn też muszą być prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarny musi być równy zero, skąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2P-Q-5R=0 \\ P+2R-2Q=0 \end{cases}}\)
Skoro przechodzi też przez dany punkt, to współrzędne tego punktu spełniają jej równanie, zatem otrzymujemy ostatecznie układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2P-Q-5R=0 \\ P+2R-2Q=0 \\\ -3P-2Q+S=0 \end{cases}}\)

Żeby rozwiązać zadanie, wystarczy znaleźć przykładowe rozwiązanie tego układu. Możliwe są dwa przypadki:
a.) \(\displaystyle{ P 0}\) i przyjmując dowolne P różne od zera otrzymamy rozwiązanie układu
b.) \(\displaystyle{ P=0}\)

2.) Analogicznie otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2P-Q+4R+S=0 \\ -P-R+S=0 \\ P-Q+2R=0 \end{cases}}\)