dane są 2 punkty. jeden jest środkiem okręgu o promieniu r. drugi znajduje się w dowolnym miejscu poza okręgiem. zadaniem jest zalezienie wzoru na współrzędne przecięcia się prostej (przechodzącej przez te 2 punkty) z okręgiem. prosta przetnie się z okręgiem w 2 miejscach. współrzędne, które trzeba obliczyć to te najbliżej punktu drugiego (tego poza okręgiem).
żeby było jasne, dodam jeszcze, że drugi punkt należy sobie wybrać, ale musi on leżeć poza okręgiem. wzór musi być taki aby zawsze można było z niego obliczyć współrzędne, niezależnie od tego w jakim miejscu leży środek okręgu oraz drugi punkt, a także niezależnie od długości promienia okręgu.
nie mogę sobie z tym poradzić, a potrzebuje takiego wzoru do mojego programu (jestem programistą). bardzo proszę o pomoc.
prosta i okrąg
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
prosta i okrąg
\(\displaystyle{ O(a,b)}\)- środek okręgu
\(\displaystyle{ A(x _{a} ,y _{a})}\) - punkt leżący poza okręgiem
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\) -równanie okręgu
\(\displaystyle{ y-y _{a} = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a})}\) -równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ O}\)
Po rozwiązaniu układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\ y-y _{a} = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) \end{cases}}\)
otrzymasz współrzędne punktów przecięcia się prostej z okręgiem
\(\displaystyle{ A(x _{a} ,y _{a})}\) - punkt leżący poza okręgiem
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\) -równanie okręgu
\(\displaystyle{ y-y _{a} = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a})}\) -równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ O}\)
Po rozwiązaniu układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\ y-y _{a} = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) \end{cases}}\)
otrzymasz współrzędne punktów przecięcia się prostej z okręgiem
prosta i okrąg
no cóż, jeśli miałbym sam rozwiązać te równania na liczbach to bym sobie poradził. niestety jak wspomniałem, wzoru potrzebuje do skryptu mojego programu. niestety w języku, w którym programuje, nie ma ma takiej możliwości aby jedno równanie miało dwie niewiadome.
czy mógłbym prosić o przekształcenie jednego z tych wzorów tak aby zawierał w sobie tylko jedną niewiadomą? jeśli skrypt obliczy pierwszą niewiadomą z któregoś wzoru, to do drugiego będzie już mógł podstawić tę obliczoną i powinno być w sam raz. będę bardzo wdzięczny za pomoc
pozdrawiam
czy mógłbym prosić o przekształcenie jednego z tych wzorów tak aby zawierał w sobie tylko jedną niewiadomą? jeśli skrypt obliczy pierwszą niewiadomą z któregoś wzoru, to do drugiego będzie już mógł podstawić tę obliczoną i powinno być w sam raz. będę bardzo wdzięczny za pomoc
pozdrawiam
prosta i okrąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
czy w tym pierwszym równaniu mogę obustronnie użyć pierwiastek?
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)+(y-b)=r \\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (y-b) - r= -(x-a)\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (y-b) - r= -x+a\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ (y-b) - r }{a}= -x\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = - \frac{ (y-b) - r }{a}\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
czy to jest na razie dobrze? jeśli tak , to spróbuje podstawić to pierwsze równanie w drugie
//edit
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = - \frac{ (\frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} -b) - r }{a}\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
nawet jeśli to jest dobrze... to nie mam w ogóle pomysłu jak przekształcić to równanie, tak aby x się zredukowało. mogę liczyć na pomoc?
czy w tym pierwszym równaniu mogę obustronnie użyć pierwiastek?
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)+(y-b)=r \\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (y-b) - r= -(x-a)\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (y-b) - r= -x+a\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ (y-b) - r }{a}= -x\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = - \frac{ (y-b) - r }{a}\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
czy to jest na razie dobrze? jeśli tak , to spróbuje podstawić to pierwsze równanie w drugie
//edit
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = - \frac{ (\frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} -b) - r }{a}\\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) + y _{a} \end{cases}}\)
nawet jeśli to jest dobrze... to nie mam w ogóle pomysłu jak przekształcić to równanie, tak aby x się zredukowało. mogę liczyć na pomoc?
Ostatnio zmieniony 28 gru 2008, o 20:50 przez amorphis, łącznie zmieniany 1 raz.
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
prosta i okrąg
Nie możesz
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\ y-y _{a} = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a})+ y _{a}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+[(\frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a})+ y _{a})-b]^2=r^2 \\ y= \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a})+ y _{a}\end{cases}}\)
I równanie jest z jedną niewiadomą \(\displaystyle{ x}\).
Program chyba to policzy.
A jak policzy to to co wyjdzie, podstawiasz do II równania i masz wyliczoną \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\ y-y _{a} = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a}) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\ y = \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a})+ y _{a}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-a)^2+[(\frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a})+ y _{a})-b]^2=r^2 \\ y= \frac{b-y _{a} }{a-x _{a} } (x-x _{a})+ y _{a}\end{cases}}\)
I równanie jest z jedną niewiadomą \(\displaystyle{ x}\).
Program chyba to policzy.
A jak policzy to to co wyjdzie, podstawiasz do II równania i masz wyliczoną \(\displaystyle{ y}\)
prosta i okrąg
policzy... pod warunkiem że z jednej strony będzie x a z drugiej reszta równania. czyli trzeba jeszcze wyciągnąć tego x z nawiasu \(\displaystyle{ (x-a)^2}\). jak tego dokonać?
prosta i okrąg
rzeczywiście... no to teraz już w ogóle nie mam pomysłu jak to przekształcać. mogę ponownie prosić o pomoc?