iloczyn skalarny wektorów

[mateusz200414]

cześć

mam kłopot z rozwiązaniem tego zadania, pomożecie?

zadanie 2.7
Dany jest romb o bokach długości 1 i kącie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) przy wierzchołku A. Oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{AM}}\) i \(\displaystyle{ \vec{AN}}\), gdzie M i N są odpowiednio środkami boków BC i CD.

Odpowiedź:
\(\displaystyle{ \frac{13}{8}}\)

pozdrawiam

[anna_]

\(\displaystyle{ \leftarrow}\) kliknij tu

Z Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych oblicz długości odcinków z rysunku.
\(\displaystyle{ cos\alpha=cos[(\alpha+\beta)-\beta]\\
cos\alpha=cos(\alpha+\beta)cos\beta + sin(\alpha+\beta)sin\beta}\)
Z odpowiednich trójkątów prostokątnych:
\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{5 \sqrt{7} }{14}\\
sin\beta= \frac{ \sqrt{21} }{14} \\
cos(\alpha+\beta)= \frac{2 \sqrt{7} }{7}\\
sin(\alpha+\beta)= \frac{ \sqrt{21} }{7}}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{2 \sqrt{7} }{7} \frac{5 \sqrt{7} }{14}+\frac{ \sqrt{21} }{7} \frac{ \sqrt{21} }{14}\\
cos\alpha= \frac{13}{14}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AM} \circ \vec{AN}=|\vec{AM}||\vec{AN}|cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \vec{AM} \circ \vec{AN}=( \frac{ \sqrt{7} }{2})^2 \frac{13}{14}\\
\vec{AM} \circ \vec{AN}= \frac{7}{4} \frac{13}{14}\\
\vec{AM} \circ \vec{AN}= \frac{13}{8}}\)

[mateusz200414]

dziękuję ślicznie!

pytanie poza 'konkursem', czy istnieje sposób rozwiązania tego zadania korzystając jedynie z działań na wektorach?

[anna_]

Nie mam pojęcia, ale raczej z działań na wektorach nie wyznaczysz cosinusa kąta. Przynajmniej tak mi się wydaje.