Dwa zadania

[razgriz]

1. Okrąg przechodzi przez punkty A= (3,1) i B= (-1,3), a jego środek leży na proste x-y+3=0. Znajdź współrzędne takiego punktu C należącego do tego okręgu, że pole trójkąta ABC jest równe 15.

2. Dany jest trójkąt ABC, w którym A= (-2,-1), vec{AB} = [8,4] środek ciężkości ma współrzędne (1,4).
a) znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta
b) wyznacz obraz trójkąta w symetrii względem prostej zawierającej bok BC
c) wyznacz cosinus kąta ABC

Proszę o pomoc

[Natasha]

Ad. 2

\(\displaystyle{ B (-2 + 8, -1 + 4)}\)
\(\displaystyle{ B (6, 3)}\)

S=środek odcinka AB
\(\displaystyle{ S(2,1)}\) - łatwo policzyć ze wzoru \(\displaystyle{ S= ( \frac{x _{A} + x _{B} }{2} , \frac{y _{A} + y _{B} }{2} )}\)
Punkt \(\displaystyle{ (1, 4)}\) nazwiemy O.
Równanie prostej przechodzącej przez punkty S i O : \(\displaystyle{ y=-3x + 7}\)

dł odcinka OS:
\(\displaystyle{ |OS| = \sqrt{(2-1) ^{2} + (1-4) ^{2} } = \sqrt{10}}\)
środkowe przecinają się w stosunku 1:2, więc odcinek OC będzie 2razy dłuższy od odcinka OS więc
\(\displaystyle{ |OC| = 2 \sqrt{10}}\)

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{10} = \sqrt{(x -1) ^{2} + (y-4) ^{2} }}\)

za y podstawiamy \(\displaystyle{ -3x + 7}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{10} = \sqrt{(x -1) ^{2} + (-3x + 3) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ 40 = x ^{2} - 2x + 1 + 9x ^{2} - 18x + 9}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2x - 3 = 0}\)
delta i pierwiastki
\(\displaystyle{ x _{1} = -1}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = 3}\)

\(\displaystyle{ C(-1, 10) C(3, -2)}\)

[ Dodano: 27 Grudnia 2008, 14:40 ]
b).

Niech C(-1, 10)
Wyznaczamy równanie prostej CB:\(\displaystyle{ y=-x+9}\)

i równanie prostej prostopadłej do niej przechodzącej pzrez punkt A: \(\displaystyle{ y= x+1}\)
punkt na prostej BC w którym prosta jest prostopadła to punkt D
D:
\(\displaystyle{ -x+9=x+1}\)
\(\displaystyle{ D(4,5)}\)
\(\displaystyle{ |AD| = \sqrt{(4+2) ^{2}+(5+1) ^{2} } = \sqrt{72}}\)
Punkt symetryczny względem prostej BC do \(\displaystyle{ A = A'}\)
\(\displaystyle{ |DA'| = \sqrt{72}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-4) ^{2}+(y-5) ^{2} } = \sqrt{72}}\)

za \(\displaystyle{ y = x+1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-4) ^{2}+(x-4) ^{2} } = \sqrt{72}}\)
Dalej podobnie jak w poprzednim podpunkcie, podnosisz do kwadratu, delta, pierwiastki

[ Dodano: 27 Grudnia 2008, 14:49 ]
Niech C(-1, 10), wtedy równanie prostej AB : \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x}\)
i równanie prostej prostopadłej do Ab przechodzącej przez C:\(\displaystyle{ y= -2x+ 8}\)
\(\displaystyle{ -2x+8=\frac{1}{2}x}\)
\(\displaystyle{ E( \frac{16}{5}, \frac{8}{5} )}\)
\(\displaystyle{ cos = \frac{|EB|}{|CB|}}\)

[ Dodano: 27 Grudnia 2008, 14:53 ]
mi wyszło, że \(\displaystyle{ cos = \frac{ \sqrt{10} }{10}}\)