Jest widoczny z punktu...

[JarTSW]

Dane są punkty:
\(\displaystyle{ A(0, \sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ B(3, \sqrt{3})}\).
Znajdź na osi \(\displaystyle{ OX}\) taki punkt, że odcinek \(\displaystyle{ BC}\) jest widoczny z punktu \(\displaystyle{ A}\) pod kątem miary pod kątem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)

[Crizz]

Szukamy takiego punktu C, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle (\vec{AC},\vec{AB})|=\frac{\pi}{3}}\)

Niech \(\displaystyle{ C=(x,0)}\) będzie szukanym punktem, wtedy:

\(\displaystyle{ \vec{AB}=[3,0],\vec{AC}=[x,-\sqrt{3}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} \circ \vec{AC}=3x}\)
\(\displaystyle{ det(\vec{AC},\vec{AB})=3\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{AB}|=3}\)
\(\displaystyle{ |\vec{AC}|=\sqrt{x^{2}+3}}\)

\(\displaystyle{ cos (\vec{AC},\vec{AB})=\frac{\vec{AB} \circ \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}=\frac{3x}{3 \sqrt{x^{2}+3}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}}\)
\(\displaystyle{ sin (\vec{AC},\vec{AB})=\frac{det(\vec{AC},\vec{AB})}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}=\frac{3\sqrt{3}}{3 \sqrt{x^{2}+3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^{2}+3}}}\)

Stąd wynika układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^{2}+3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}=\frac{1}{2} \end{cases}}\)
Łatwo obliczyć, że \(\displaystyle{ x=1}\).

[JarTSW]

A cóź to jest to tajemnicze det?

[Crizz]

Wyznacznik

[ Dodano: 21 Grudnia 2008, 19:11 ]
\(\displaystyle{ det([a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}])=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)