Własności wektorów (uzasadnij twierdzenie)

[wiola_honey]

potrafi ktoś uzasadnić któreś z tych twierdzeń? bardzo proszę o pomoc

a) jeśeli przekątne czworokąta przecinają się w połowie, to czworokąt ten jets równoległobokiem

b)środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku

c) długość odcinka łączącego środek przekątnych trapezu jest równa połowie różnicy długości podstaw (od długości dłuższej podstawy odejmujemy długość krótszej)

[marcinn12]

a)



Założenie:

\(\displaystyle{ \vec{AS}= \vec{SC}}\)

\(\displaystyle{ \vec{BS}= \vec{SD}}\)

Teza:

\(\displaystyle{ \vec{AB}= \vec{DC}}\)

\(\displaystyle{ \vec{DA}= \vec{CB}}\)

Dowód:

\(\displaystyle{ \vec{AB}= \vec{AS} + \vec{SB}= \vec{SC}+ \vec{DS}=\vec{DC}}\)

\(\displaystyle{ \vec{DA}= \vec{AS} + \vec{SD}= \vec{BS}+ \vec{SC}=\vec{BC}}\)

b)



Założenie:

\(\displaystyle{ \vec{GH}= \vec{EF}}\)

Teza:

\(\displaystyle{ \vec{GH}= \vec{HD} + \vec{DG}= \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC}}\)

\(\displaystyle{ \vec{EF}= \vec{EB} + \vec{BF}= \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}}\)

Dowód:

\(\displaystyle{ \vec{AD} + \vec{DC}= \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}}\)

\(\displaystyle{ \vec{AC}=\vec{AD} + \vec{DC}}\)
\(\displaystyle{ 2\vec{HD}+ 2 \vec{DG}=\vec{AC}}\)
\(\displaystyle{ 2(\vec{HD}+\vec{DG})=\vec{AC}}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}}\)
\(\displaystyle{ 2\vec{FB}+2\vec{BF}=\vec{AC}}\)
\(\displaystyle{ 2(\vec{FB}+\vec{BF})=\vec{AC}}\)

\(\displaystyle{ 2(\vec{HD}+\vec{DG})=2(\vec{FB}+\vec{BF})}\)
\(\displaystyle{ \vec{HD}+\vec{DG}=\vec{FB}+\vec{BF}}\)
\(\displaystyle{ \vec{GH}=\vec{EF}}\)